Livre: De l'intégration aux probabilités

De l'Intégration aux Probabilités (deuxième édition)

Olivier Garet et Aline Kurtzmann

Cours et exercices corrigés

De l'Intégration aux probabilités

Cet ouvrage de 608 pages est paru le 28 mai 2019 aux éditions Ellipses.
C'est une nouvelle édition, augmentée, de la première version (504 pages) qui était parue en novembre 2011.
Vous pouvez le commander, avec des frais de port au minimum légal, chez l'éditeur ou chez Amazon ou à la Fnac.

Préface
Table des matières
Extrait
Index
Coquilles
Agrégation de mathématiques: des idées pour les leçons de probas (version 2021) et le calcul d'intégrales.

Comme première lecture, cet ouvrage s'adresse aux étudiants de troisième année de licence de mathématiques, ainsi qu'aux élèves des écoles d'ingénieur. Des compléments et approfondissements lui donnent également vocation à être un outil de référence pour les étudiants de master et les candidats à l'agrégation de mathématiques.

Après quelques rappels et compléments d'analyse, le tronc commun classique d'une troisième année de licence est traité :

notions de théorie de la mesure
théorie de l'intégration de Lebesgue : théorèmes de convergence, intégrales multiples, théorèmes de Fubini. Calculs d'intégrales.
Espaces \(L^p\), convolution, régularisation, transformée de Fourier
Lois des variables aléatoires. Calculs et caractérisations des lois.
Convergence presque sûre, lois des grands nombres
Convergence en loi, Théorème Central Limite dans \(\mathbb{R}\), dans \(\mathbb{R}^d\), vecteurs gaussiens
Introduction aux statistiques.

Le dernier chapitre est consacré à des résultats classiques sur les sommes de variables aléatoires indépendantes qui sont souvent absents de la littérature francophone. Une annexe est consacrée à des compléments de la théorie de l'intégration, puis une autre à des rappels de dénombrement.

Le cours favorise les allers-retours entre l'analyse et les probabilités : les résultats d'analyse permettent de fonder la théorie des probabilités, celle-ci fournissant en retour des preuves très élégantes de résultats d'analyse, voire d'algèbre.

Une large place a été consacrée aux exercices. Certains, particulièrement importants, sont corrigés à l'intérieur du cours. On trouvera ensuite, à la fin de chaque chapitre, deux séries d'exercices : pour la première série, les solutions détaillées sont données en fin d'ouvrage, pour la seconde, des pistes ou des indications de solution. En tout, les solutions et les indications occupent 20% de l'ouvrage. Les exercices sont très variés, incluant des grands classiques comme des créations plus originales, afin de contribuer à la fois à l'acquisition des méthodes et à la progression de la culture mathématique du lecteur.

Principales nouveautés de la deuxième édition

de nombreuses coquilles corrigées
quelques corrections réécrites pour les préciser ou les simplifier
tous les exercices de fin de chapitre ont maintenant des indications
(dans la première édition, les exercices corrigés n'avaient pas d'indications)
quelques théorèmes admis dans la première édition sont maintenant démontrés
davantage de calculs de volumes
plus de choses sur la fonction Gamma et les fonctions spéciales associées
plus sur la simulation et sur la méthode de Monte-Carlo dans le cours
plus d'exercices sur la distribution Zêta, en lien avec la théorie des nombres
de manière générale, plus d'exercices et plus d'exercices corrigés: en tout plus de 300 exercices dont plus de 150 sont corrigés.

Olivier Garet est professeur à l'université de Lorraine (Nancy), actuellement responsable de la préparation à l'agrégation et du cours de Probabilités de L3. Ses travaux de recherche portent sur la théorie de la percolation.

Aline Kurtzmann est maître de conférences à l'université de Lorraine (Nancy). Ses travaux de recherche portent sur les probabilités et la théorie des systèmes dynamiques.