Livre: De l'intégration aux probabilités

De l'Intégration aux Probabilités

Olivier Garet et Aline Kurtzmann

Cours et exercices corrigés

De l'Intégration aux probabilités

Cet ouvrage de 504 pages est paru en novembre 2011 aux éditions Ellipses.

Attention: cette édition est obsolète. Une version enrichie est disponible: ici.

Préface
Table des matières
Extrait
Index
Coquilles
Agrégation de mathématiques: des idées pour les leçons de probas (version 2015) et le calcul d'intégrales.

Comme première lecture, cet ouvrage s'adresse aux étudiants de troisième année de licence de mathématiques, ainsi qu'aux élèves des écoles d'ingénieur. Des compléments et approfondissements lui donnent également vocation à être un outil de référence pour les étudiants de master et les candidats à l'agrégation de mathématiques.

Après quelques rappels et compléments d'analyse, le tronc commun classique d'une troisième année de licence est traité :

notions de théorie de la mesure
théorie de l'intégration de Lebesgue : théorèmes de convergence, intégrales multiples, théorèmes de Fubini. Calculs d'intégrales.
Espaces \(L^p\), convolution, régularisation, transformée de Fourier
Lois des variables aléatoires. Calculs et caractérisations des lois.
Convergence presque sûre, lois des grands nombres
Convergence en loi, Théorème Central Limite dans \(\mathbb{R}\), dans \(\mathbb{R}^d\), vecteurs gaussiens
Introduction aux statistiques.

Le dernier chapitre est consacré à des résultats classiques sur les sommes de variables aléatoires indépendantes qui sont souvent absents de la littérature francophone. Une annexe est consacrée à des compléments de la théorie de l'intégration, puis une autre à des rappels de dénombrement.

Le cours favorise les allers-retours entre l'analyse et les probabilités : les résultats d'analyse permettent de fonder la théorie des probabilités, celle-ci fournissant en retour des preuves très élégantes de résultats d'analyse, voire d'algèbre.

Une large place a été consacrée aux exercices. Certains, particulièrement importants, sont corrigés à l'intérieur du cours. On trouvera ensuite, à la fin de chaque chapitre, deux séries d'exercices : pour la première série, les solutions détaillées sont données en fin d'ouvrage, pour la seconde, des pistes ou des indications de solution. En tout, les solutions et les indications occupent 20% de l'ouvrage. Les exercices sont très variés, incluant des grands classiques comme des créations plus originales, afin de contribuer à la fois à l'acquisition des méthodes et à la progression de la culture mathématique du lecteur.

Olivier Garet est professeur à l'université Henri Poincaré (Nancy), actuellement responsable de la préparation à l'agrégation et du cours d'Intégration et Probabilités de L3. Ses travaux de recherche portent sur la théorie de la percolation.

Aline Kurtzmann est maître de conférences à l'université Henri Poincaré (Nancy), actuellement responsable du cours de Probabilités de L2 ainsi que du cours de Probabilités Approfondies de L3. Ses travaux de recherche portent sur les probabilités et la théorie des systèmes dynamiques.