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\title{Concours Général 1999}
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\begin{document}

%\maketitle
\begin{center}
\textbf{Concours Général 2003}
\end{center}

Le problème étudie des configurations du plan rapporté à un repère orthonormé $(O, u, v)$. On pourra aussi se placer dans le plan complexe associé, $i$ étant l'affixe du point de coordonnées $(0, 1)$. On appelle triangle tout ensemble de trois points non alignés du plan.

\section*{Questions préliminaires}

\begin{enumerate}
\item Soit $ABC$ un triangle et $M$ un point quelconque du plan. Montrer que : $$MA.BC+MB.CA+MC.AB=0.$$
          En déduire que les trois hauteurs du triangle $ABC$ sont concourantes en un point $H$ appelé orthocentre de ce triangle.
       
\item Soit $ABC$ un triangle,  $W$ le centre de son cercle circonscrit et $H$ le point tel que $\Omega H=\Omega A+\Omega B+\Omega C$.
      Démontrer que $H$ est l'orthocentre du triangle $ABC$.
\end{enumerate}

Etant donnée une partie $X$ du plan, supposée non incluse dans une droite, 
on note $H(X)$ l'ensemble des orthocentres des triangles dont les sommets appartiennent à $X$. On dira qu'une partie $X$ du plan est orthocentrique si elle n'est pas incluse dans une droite et si $H(X)$ est  inclus dans $X$, c'est-à-dire si tout orthocentre d'un triangle de points de $X$ appartient à $X$.

\section*{Première partie}

\begin{enumerate}

   \item Déterminer les parties orthocentriques à $3$ éléments.

   \item Déterminer les parties orthocentriques à $4$ éléments.

   \item Soit X un ensemble de quatre points d'un cercle et $Y = H(X)$.
\begin{enumerate}

      \item Montrer que $Y$ se déduit de $X$ par une transformation simple.
      \item Déterminer $H(Y )$.
\end{enumerate}

   \item \begin{enumerate} \item Soit $G$ un cercle de rayon strictement positif ; déterminer $H(G)$.
     \item  Soit $D$ un disque de rayon strictement positif ; déterminer $H(D)$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Deuxième partie}

Dans cette partie, $R$ est un nombre réel strictement positif, $n$ est un entier au moins égal à $2$ et $X$ est l'ensemble des $2n$ sommets d'un polygone régulier inscrit dans le cercle de centre $O$ et de rayon $R$. On considère l'ensemble $T$ des triangles dont les sommets appartiennent à $X$. On choisit au hasard, avec équiprobabilité, un élément de $T$ .
\begin{enumerate}
   \item Quelle est la probabilité de choisir un triangle rectangle ?

   \item Quelle est la probabilité de choisir un triangle dont les trois angles sont aigus ?

   \item On note $L$ la variable aléatoire qui à tout élément de $T$ associe le carré de la distance de $O$ à son orthocentre.
      Déterminer, en fonction de $n$ et $R$, l'espérance de la variable aléatoire $L$.
\end{enumerate}
\section*{Troisième partie}
\begin{enumerate}
   \item Soit $a, b, c$ trois réels tels que $a(b - c)\ne 0$ et $A, B, C$ les points de coordonnées respectives $(0, a), (b, 0), (c, 0)$.
      Calculer les coordonnées de l'orthocentre $D$ du triangle $ABC$.

   \item Soit $X$ la partie obtenue en prenant la réunion d'une droite $D$ et d'un point $M$ n'appartenant pas à  $D$.
      Déterminer $H(X)$. Montrer que $H(X)\cup X$ est une partie orthocentrique.

   \item Soit $X$ une partie orthocentrique incluse dans la réunion des axes $(O, u)$ et $(O, v)$ et contenant au moins trois points de $(O, u)$ distincts de $O$.
\begin{enumerate}
      \item Montrer que $X$ contient au moins trois points de $(O, u)$ d'abscisses non nulles et de même signe.
      \item Montrer que $X$ contient au moins trois points de $(O, u)$ d'abscisses strictement positives.
\end{enumerate}

   \item 
\begin{enumerate} \item Déterminer les parties orthocentriques finies, contenant au plus cinq points et incluses dans la réunion des axes $(O, u)$ et $(O, v)$.
      \item Soit $X$ une partie orthocentrique incluse dans la réunion des axes $(O, u)$ et $(O, v)$ et contenant au moins six points. Montrer qu'il existe deux suites $(x_n)$ et $(x'_n)$ de réels non nuls telles que, pour tout entier n, les points de coordonnées $(x_n, 0)$ et $(x'_n, 0)$ appartiennent à $X$, et telles que $\lim_{n\to +\infty} x_n=+\infty,\lim_{n\to +\infty} x'_n=0$.
                                                               
      Une partie orthocentrique incluse dans la réunion des axes $(O, u)$ et $(O, v)$ et contenant au moins six points peut-elle être finie ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Quatrième partie}

L'objectif de cette partie est la construction de parties orthocentriques remarquables.
\begin{enumerate}
   \item Soit $k$ un réel non nul et soit $Y$ l'hyperbole d'équation $xy = k$.
\begin{enumerate}
      \item Soit $A, B, C, D$ quatre points distincts de $Y$ , d'abscisses respectives $a, b, c, d$.
      Montrer que sont orthogonaux si et seulement si $abcd = -k^2$.
      \item Soit $A, B, C$ trois points distincts de $Y$ , d'abscisses respectives $a, b, c$. Déterminer l'orthocentre de $ABC$.
      \item Montrer que Y est orthocentrique.
\end{enumerate}

Dans toute la suite de la quatrième partie, on considère un entier relatif non nul $q$ et on note $X$ l'ensemble d'équation $x^2+qxy-y^2=1$.

   \item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation "$t^2 - qt - 1 = 0$" possède deux racines réelles distinctes. Montrer que ces racines sont irrationnelles.
      Dans toute la suite de la quatrième partie, on note $r$ et $r_0$ ces deux racines et $s$ la similitude définie par la représentation complexe $z\mapsto (1 - ri)z$.
      \item Montrer que $s(X)$ est une hyperbole, d'équation $xy = k$, où $k$ est un réel à déterminer. En déduire que $X$ est un ensemble orthocentrique.
\end{enumerate}

   \item Soit G l'ensemble des points de $X$ à coordonnées entières et $F$ l'ensemble des abscisses des éléments de $s(G)$.
\begin{enumerate}
      \item Vérifier que $F$ est l'ensemble des nombres réels de la forme $x + ry$, où $x$ et $y$ sont deux entiers tels que $(x + ry)(x + r'y) = 1$.
      \item Montrer que $-1$ appartient à $F$ ; montrer que $r^2$ appartient à $F$.
      \item Montrer que le produit de deux éléments de $F$ est élément de $F$ et que l'inverse d'un élément de $F$ est élément de $F$. Montrer que $F$ possède une infinité d'éléments.
\end{enumerate}

   \item Déduire de ce qui précède que l'ensemble $G$ des points à coordonnées entières de $X$ est une partie orthocentrique infinie.
\end{enumerate}

\section*{Cinquième partie}

On note $Y_1$ l'hyperbole d'équation $xy = 1$ et $Y_0$ l'ensemble d'équation $xy = 0$, c'est-à-dire la réunion des axes $(O, u)$ et $(O, v)$.
On admet le résultat suivant :
" Etant donnés quatre points $A,B,C$ et $D$ du plan, il existe une similitude $s$ telle que $s(A), s(B), s(C)$ et $s(D)$ appartiennent tous à $Y_1$ ou bien appartiennent tous à $Y_0$ ."

Soit $A_0,B_0,C_0$ et $D_0$ quatre points, trois à trois non alignés, et soit $X_0 = \{A_0 , B_0 , C_0 , D_0\}$.
On définit par récurrence $X_{n+1} = H(X_n)$ pour tout entier naturel n. On suppose qu'il existe un entier $n$ strictement positif tel que $X_n = X_0$ et on note $m$ le plus petit entier ayant cette propriété.

\begin{enumerate}
   \item Montrer que $m = 1$ ou $m = 2$.

   \item Déterminer les ensembles $X_0$ tels que $m = 1$, puis ceux tels que $m = 2$.
\end{enumerate}


\end{document}
