Concours Général 2003

Le problème étudie des configurations du plan rapporté à un repère orthonormé (O, u, v). On pourra aussi se placer dans le plan complexe associé, i étant l’affixe du point de coordonnées (0, 1). On appelle triangle tout ensemble de trois points non alignés du plan.

Questions préliminaires

1. Soit ABC un triangle et M un point quelconque du plan. Montrer que :

MA.BC + MB.CA + MC.AB = 0.

En déduire que les trois hauteurs du triangle ABC sont concourantes en un point H appelé orthocentre de ce triangle.

2. Soit ABC un triangle, W le centre de son cercle circonscrit et H le point tel que ΩH = ΩA + ΩB + ΩC. Démontrer que H est l’orthocentre du triangle ABC.

Etant donnée une partie X du plan, supposée non incluse dans une droite, on note H(X) l’ensemble des orthocentres des triangles dont les sommets appartiennent à X. On dira qu’une partie X du plan est orthocentrique si elle n’est pas incluse dans une droite et si H(X) est inclus dans X, c’est-à-dire si tout orthocentre d’un triangle de points de X appartient à X.

Première partie

1. Déterminer les parties orthocentriques à 3 éléments.

2. Déterminer les parties orthocentriques à 4 éléments.

3. Soit X un ensemble de quatre points d’un cercle et Y = H(X). (a) Montrer que Y se déduit de X par une transformation simple.

(b) Déterminer H(Y).

4. (a) Soit G un cercle de rayon strictement positif ; déterminer H(G). (b) Soit D un disque de rayon strictement positif ; déterminer H(D).

Deuxième partie

Dans cette partie, R est un nombre réel strictement positif, n est un entier au moins égal à 2 et X est l’ensemble des 2n sommets d’un polygone régulier inscrit dans le cercle de centre O et de rayon R. On considère l’ensemble T des triangles dont les sommets appartiennent à X. On choisit au hasard, avec équiprobabilité, un élément de T .

1. Quelle est la probabilité de choisir un triangle rectangle ?

2. Quelle est la probabilité de choisir un triangle dont les trois angles sont aigus ?

3. On note L la variable aléatoire qui à tout élément de T associe le carré de la distance de O à son orthocentre. Déterminer, en fonction de n et R, l’espérance de la variable aléatoire L.

Troisième partie

1. Soit a, b, c trois réels tels que a(b − c) ≠ 0 et A, B, C les points de coordonnées respectives (0, a), (b, 0), (c, 0). Calculer les coordonnées de l’orthocentre D du triangle ABC.

2. Soit X la partie obtenue en prenant la réunion d’une droite D et d’un point M n’appartenant pas à D. Déterminer H(X). Montrer que H(X)∪ X est une partie orthocentrique.

3. Soit X une partie orthocentrique incluse dans la réunion des axes (O, u) et (O, v) et contenant au moins trois points de (O, u) distincts de O.

(a) Montrer que X contient au moins trois points de (O, u) d’abscisses non nulles et de même signe.

(b) Montrer que X contient au moins trois points de (O, u) d’abscisses

strictement positives.

4. (a) Déterminer les parties orthocentriques finies, contenant au plus cinq

points et incluses dans la réunion des axes (O, u) et (O, v).

(b) Soit X une partie orthocentrique incluse dans la réunion des axes (O, u) et (O, v) et contenant au moins six points. Montrer qu’il existe deux suites (x_{n}) et (x′_{n}) de réels non nuls telles que, pour tout entier n, les points de coordonnées (x_{n}, 0) et (x′_{n}, 0) appartiennent à X, et telles que lim_{n→+∞} x_{n} = +∞, lim_{n→+∞} x′_{n} = 0. Une partie orthocentrique incluse dans la réunion des axes (O, u) et (O, v) et contenant au moins six points peut-elle être finie ?

Quatrième partie

L’objectif de cette partie est la construction de parties orthocentriques remarquables.

1. Soit k un réel non nul et soit Y l’hyperbole d’équation xy = k.

(a) Soit A, B, C, D quatre points distincts de Y , d’abscisses respectives a, b, c, d. Montrer que sont orthogonaux si et seulement si abcd = −k^{2}.

(b) Soit A, B, C trois points distincts de Y , d’abscisses respectives a, b, c. Déterminer l’orthocentre de ABC.

(c) Montrer que Y est orthocentrique. Dans toute la suite de la quatrième partie, on considère un entier relatif non nul q et on note X l’ensemble d’équation x^{2} + qxy − y^{2} = 1.

2. (a) Montrer que l’équation "t^{2} − qt − 1 = 0" possède deux racines réelles distinctes. Montrer que ces racines sont irrationnelles. Dans toute la suite de la quatrième partie, on note r et r_{0} ces deux racines et s la similitude définie par la représentation complexe z ↦ (1 − ri)z.

(b) Montrer que s(X) est une hyperbole, d’équation xy = k, où k est un

réel à déterminer. En déduire que X est un ensemble orthocentrique.

3. Soit G l’ensemble des points de X à coordonnées entières et F l’ensemble des abscisses des éléments de s(G).

(a) Vérifier que F est l’ensemble des nombres réels de la forme x + ry, où x et y sont deux entiers tels que (x + ry)(x + r′y) = 1.

(b) Montrer que −1 appartient à F ; montrer que r^{2} appartient à F.

(c) Montrer que le produit de deux éléments de F est élément de F et que l’inverse d’un élément de F est élément de F. Montrer que F possède une infinité d’éléments.

4. Déduire de ce qui précède que l’ensemble G des points à coordonnées entières de X est une partie orthocentrique infinie.

Cinquième partie

On note Y_{1} l’hyperbole d’équation xy = 1 et Y_{0} l’ensemble d’équation xy = 0, c’est-à-dire la réunion des axes (O, u) et (O, v). On admet le résultat suivant : " Etant donnés quatre points A, B, C et D du plan, il existe une similitude s telle que s(A), s(B), s(C) et s(D) appartiennent tous à Y_{1} ou bien appartiennent tous à Y_{0} ."

Soit A_{0}, B_{0}, C_{0} et D_{0} quatre points, trois à trois non alignés, et soit X_{0} = {A_{0}, B_{0}, C_{0}, D_{0}}. On définit par récurrence X_{n+1} = H(X_{n}) pour tout entier naturel n. On suppose qu’il existe un entier n strictement positif tel que X_{n} = X_{0} et on note m le plus petit entier ayant cette propriété.

1. Montrer que m = 1 ou m = 2.

2. Déterminer les ensembles X_{0} tels que m = 1, puis ceux tels que m = 2.