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\title{Concours Général 2002}
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\begin{document}

%\maketitle
\begin{center}
\textbf{Concours Général 2002}
\end{center}

Dans tout le problème, un triangle $ABC$ est la figure déterminée par les trois points $A$, $B$, $C$ supposés non alignés.
Conformément à la tradition, les longueurs de ses côtés seront notées $a = BC$, $b = CA$ et $c = AB$, et $\hat{A}$ , $\hat{B}$ et
$\hat{C}$ sont les mesures en radians, comprises entre $0$ et $\pi$, de ses angles.

Les trois premières parties se déroulent dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$  associé aux coordonnées $(x, y)$ (ou $(X, Y )$).


\section*{Première Partie}
Soit $ABC$ un triangle. On note $P$ le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $(BC)$ et $D$ le symétrique du
point $C$ par rapport à la droite $(AP )$.
n dit que ce triangle est pseudo-rectangle en $A$ si $|\hat{B}- \hat{C}| =\frac\pi2$ ·
On précise qu’il est pseudo-rectangle en $A$, obtus en $B$ dans le cas où $\hat{B}-\hat{C} =\frac\pi2$ ·
\begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle $ABC$ est pseudo-rectangle en $A$ si et seulement si le triangle $ABD$ est rectangle en $A$.
\item Montrer que $PA^2 = PB.PC$ si et seulement si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ ou pseudo-rectangle en $A$.
\item Montrer que le triangle $ABC$ est pseudo-rectangle en $A$ si et seulement si son orthocentre est le symétrique du
point $A$ par rapport à la droite $(BC)$.
\item Soit $R$ le rayon du cercle circonscrit au triangle $ABC$. Montrer que $P B + P C = 2R$ si et seulement si $ABC$
est rectangle en $A$ ou pseudo-rectangle en $A$.
\item Montrer que le triangle $ABC$ est pseudo-rectangle en $A$ si et seulement si la droite $(AP )$ est tangente au cercle
circonscrit au triangle $ABC$.
\item Dans le plan complexe associé au repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$, on note $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ les affixes des points non alignés $A$, $B$, $C$.
\begin{enumerate}
\item Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\frac{(\alpha - \beta)(\alpha - \gamma)}{(\beta - \gamma)^2}$ pour que le triangle $ABC$ soit pseudo-rectangle en $A$.
\item On suppose $\beta = -\gamma = e^{i\pi/ 4}$ . Déterminer l’ensemble $(E_1 )$ des points $A$ du plan tels que le triangle $ABC$ soit
pseudo-rectangle en $A$.
\item On suppose $\beta = -\gamma = 1$. Déterminer l’ensemble $(E_2)$ des points $A$ du plan tels que le triangle $ABC$ soit
pseudo-rectangle en $A$.
d) Par quelle transformation géométrique simple passe-t-on de $(E_2 )$ à $(E_1 )$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Deuxième Partie}
\begin{enumerate}
\item Soit $(a, b, c)$ un triplet de réels strictement positifs. \'Etablir
l’équivalence des conditions suivantes :
\begin{itemize}
\item[i] il existe un triangle $ABC$ pseudo-rectangle en $A$ et obtus en $B$ tel que $AB = c$, $BC = a$ et $CA = b$ ;
\item [ii] $b^2 - c^2 = a\sqrt{b^2 + c^2}$ ;

\item [iii] il existe deux réels $\rho$ et $\theta$ vérifiant $\rho > 0$, $0 < \theta <\frac\pi{4}$ 
et $a = \rho cos 2\theta$, $b = \rho \cos \theta$ et $c = \rho \sin \theta$.
\end{itemize}
\item Ces conditions étant réalisées, montrer que $\theta$ mesure l’un des angles du triangle $ABC$. Comment peut-on
interpréter géométriquement $\rho$ ?
\item Soit $ABC$ un triangle pseudo-rectangle en $A$, obtus en $B$ et dont les longueurs des côtés sont des nombres
rationnels ; soit $\rho$ et $\theta$ les deux réels définis au 1. [iii].
Dans cette question, on pourra utiliser sans justification les formules trigonométriques suivantes vérifiées par tout
réel $\phi $ pour lequel $\tan \phi$ est définie :
$$\cos 2\phi =\frac{1 - \tan^2 \phi}{1 + \tan^2 \phi}, \quad sin 2\phi =\frac{2 tan \phi}{1 + \tan^2 \phi}.$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\rho$ est rationnel et en déduire que $\tan\frac\theta{2}$ est rationnel. Soient $p$ et $q$ les entiers strictement positifs et premiers entre eux tels que $\tan\frac\theta{2}=\frac{p}q$.
\item Vérifier que $0 < p < q ( \sqrt{2} - 1)$ et établir l’existence d’un rationnel strictement positif $r$ tel que
\begin{align*}
a& = r (p^4 - 6p^2 q^2 + q^4 ),\\
b& = r (q^4 - p^4 ),\\
c& = 2pqr (p^2 + q^2 ).
\end{align*}
\end{enumerate}
\item Montrer réciproquement que les formules du 2. b) définissent les longueurs des côtés d’un triangle pseudorectangle en A, obtus en B et dont les longueurs des côtés sont rationnelles.
\item \begin{enumerate} 
\item Soient p et q deux entiers strictement positifs premiers entre eux. Déterminer le plus grand diviseur commun
aux trois entiers $ p^4 - 6p^2 q^2 + q^4$ , $q^4 - p^4$ , $2pq (p^2 + q^2 )$ (on discutera suivant la parité de $p$ et $q$).
\item Décrire les triplets d’entiers $(a, b, c)$ tels qu’il existe un triangle $ABC$, pseudo-rectangle en $A$ obtus en $B$, tel
que $AB = c$, $BC = a$ et $CA = b$.
\item Résoudre dans $\N^{*}$ l’équation $x^2 (y^2 + z^2 ) = (y^2 - z^2 )^2$.
\item Résoudre dans $\Q^{*}$ l’équation $x^2 (y^2 + z^2 ) = (y^2 - z^2 )^2$.
\item Résoudre dans $\N^{*}$  l’équation $x^2 (y^2 - z^2 )^2 = (y^2 + z^2 )^3$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Troisième Partie}

Soit $H$ la courbe définie par $x\ge 1$ et $y = x^2 - 1$. Soient $A$ un point de $H$ et $(r, s)$ le couple de ses coordonnées.
On note $\mathcal{A}$ l’aire de la partie du plan définie par les relations $1\le x\le  r$ et $y^2\le x^2 - 1$.

\begin{enumerate}
\item Calculer A en fonction de r et de s (on pourra par exemple effectuer une rotation du repère d’angle $-\pi/4$).
\item \emph{Le but de cette question est de retrouver le résultat précédent en utilisant une méthode dont le principe remonte à Fermat, sans doute peu après 1658 :} \og De æquationum localium transmutatione et emendatione ad ultimodam
curvilineorum inter se vel cum rectilineis comparationem, cui annectitur proportionis geometricæ in quadrandis infinitis parabolis et hyperbolis usu \fg (Œuvres complètes, Tome I, pages 225-285).

Soit $n$ un entier naturel non nul et $u$ un réel positif tel que $u^n = r + s$. Pour tout entier $k$ entre $1$ et $n$, on considère le trapèze rectangle Tk (éventuellement réduit à un triangle) dont le côté oblique est le segment ayant pour extrémités les points de coordonnées $(u^{k-1} , 0)$ et $(u^k , 0)$, dont les bases ont pour pente $-1$ et dont l’un des angles droits a pour sommet le point de $H$ d’abscisse $\frac{u^{k-1} +u^{1-k}}2$.

\item
\begin{enumerate}
\item On définit bien ainsi, pour chaque valeur de $k$, un unique trapèze $T_k$ (réduit à un triangle lorsque $k = 1$) :
illustrer par un croquis.
\item Pourquoi peut-on conjecturer que la somme des aires de ces trapèzes admet
$\frac{\mathcal{A}+s^2}2$ comme limite lorsque $n$ tend vers l’infini ?

\item Démontrer la conjecture précédente en utilisant une autre suite de trapèzes combinée à la première.
\item Retrouver la valeur de $\mathcal{A}$.
\end{enumerate}
\item Soient $B$ et $C$ les points de coordonnées respectives $(1, 0)$ et $(-1, 0)$ et $A$ un point de coordonnées $(x, y)$ avec $x\ge 0$ et $y\ge  0$ tel que le triangle $ABC$ soit pseudo-rectangle en A.
On note $S$ l’aire du triangle $ABC$ et $S$ l’aire de la partie du plan constituée des points de la plaque triangulaire définie par le triangle $ABC$ dont les coordonnées $(X, Y)$ vérifient $Y^2\le X^2-1$.

\'Etudier une éventuelle limite lorsque x tend vers l’infini du rapport $\frac{S'}S$.

\end{enumerate}

\section*{Quatrième Partie}
\emph{Cette partie se déroule dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct  $(O;\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ associé aux coordonnées $(x, y, z)$.}


Dans le plan d’équation $z = 0$, soit $(C)$ le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ et soient $T$ et $P$ deux points distincts
tels que la droite $(T P )$ soit tangente au cercle $(C)$ en $T$ . Soient $B$ et $C$ les intersections de la droite $(OP )$ avec le
cercle $(C)$ et $(D)$ la droite perpendiculaire au plan d’équation $z = 0$ passant par $P$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item 
 Montrer qu’il existe deux points A et A appartenant `
a la droite (D) tels que les triangles $ABC$ et A BC
soient pseudo-rectangles respectivement en A et A ; donner une construction simple de ces deux points.
\item Montrer que les coordonnées de ces deux points vérifient l’égalité $x^2 + y^2 = z^2 + 1$.
\end{enumerate}
\item Soit $(H)$ l’ensemble des points $A$ et $A'$ quand T et P varient.
\begin{enumerate}
\item Quelle est l’intersection de l’ensemble $(H)$ avec un plan orthogonal à $\vec{w}$.

\item Quelle est l’intersection de l’ensemble $(H)$ avec un plan contenant la droite $(O;\vec{w})$~?
\item Montrer que l’ensemble $(H)$ est inclus dans une réunion de droites que l’on précisera.
\end{enumerate}
\item On s’intéresse dans cette dernière question aux points entiers de l’ensemble $(H)$, c’est-à-dire aux éléments de $(H)$ dont les trois coordonnées sont des nombres entiers.
\begin{enumerate}
\item Soit $(x, y, z)$ le triplet des coordonnées d’un tel point. Montrer que $x$ ou $y$ est impair.
On note désormais $S$ l’ensemble des triplets $(x, y, z)$ d’entiers naturels strictement positifs tels que $x$ est impair et $x^2 + y^2 = z^2 + 1$.
\item Soit $d$ un entier strictement positif fixé. Démontrer que l’ensemble des éléments $(x, y, z)$ de $S$ tels que $\text{PGCD}(x + 1, y + z) = d$ est l’ensemble vide si $d$ est impair et un ensemble infini si $d$ est pair.
\item Soit $m$ un entier naturel impair supérieur ou égal à $3$. 
 Combien y a-t-il d’éléments $(x, y, z)$ de $S$ tels que $x = m$ ?
Déterminer ces éléments lorsque $m = 3$,$5$, $7$, $9$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
