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\title{Concours Général 2001}
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\begin{document}

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\begin{center}
\textbf{Concours Général 2001}
\end{center}

On appelle trio tout triplet de nombres réels $(a,b,c)$ non tous nuls et vérifiant la relation: $$ab + bc + ca = 0$$
Lorsque $a + b + c = 1$ , on dit que le trio $(a,b,c)$ est un trio réduit.
Les coordonnées sont rapportées à un repère orthonormal direct  $(O,\vec{I},\vec{J},\vec{K})$ de l'espace.


\section*{Première partie}

On note $C$ l'ensemble des points de coordonnées $(a,b,c)$ où $(a,b,c)$ est un trio. On note $\Gamma$ l'ensemble des points de coordonnées $(a,b,c)$ où $(a,b,c)$ est un trio réduit.
On note $\mathcal{P}$ le plan d'équation $x + y + z = 1$.

\begin{enumerate}
\item  Existe-t-il des trios $(a,b,c)$ tels que $a + b + c  = 0$ ?
   \item Montrer que $C$ est une réunion de droites passant par $O$ et privées de ce point.
   \item  Montrer que $\Gamma$ est l'intersection d'un plan et d'une sphère de centre $O$. Quelle est la nature géométrique de $G$ ?
   \item  Donner la nature géométrique de $C$ et l'illustrer par un croquis.
   \item  Soit $L$ un point fixé de $\Gamma$ . Montrer que le volume $V$ du tétraèdre $OLL'L''$ , où $L'$ et $L''$ sont deux points distincts de $\Gamma$ et différents de $L$, est maximal lorsque les arêtes issues de $O$ sont deux à deux orthogonales et déterminer alors les coordonnées de $L'$ et $L''$ en fonction de celles de $L$.
   \item  Montrer que le produit $abc$ admet un maximum et un minimum lorsque le point de coordonnées $(a,b,c)$ décrit $\Gamma$. Préciser les trios réduits réalisant ces extremums.

\end{enumerate}



\section*{Deuxième partie}
Dans cette partie et les suivantes, un trio $(a,b,c)$ est dit rationnel lorsque $a$, $b$, et $c$ sont des nombres rationnels (éléments de l'ensemble $\Q$). Il est dit entier lorsque $a$, $b$ et $c$ sont des entiers relatifs  (éléments de l'ensemble $\Z$). Enfin un trio entier est dit primitif si $a$ , $b$ et $c$ n'admettent que $1$ et $-1$ comme diviseurs communs.
\begin{enumerate}

   \item  Déterminer la nature de l'ensemble $H_1$ des points de coordonnées $(x , y , 1)$ tels que $(x , y , 1 )$ soit un trio. Montrer que le point $\Omega_1$ de coordonnées $(-1 , -1 , 1 )$ est un centre de symétrie de $H_1$ . Quels sont les points de $H_1$ à coordonnées entières ?
   \item Pour tout entier naturel non nul h, on note $Z_h$ l'ensemble des trios entiers $(a,b,c)$ tels que $c = h$. Déterminer $Z_h$ pour $h = 1$ et $h = 2$.
   \item  Montrer que $Z_h$ est un ensemble fini et exprimer le nombre $N(h)$ de ses éléments en fonction de celui des diviseurs de $h^2$ dans $Z$. Montrer que $4$ divise  $N(h) - 2$.
   \item  Pour tout entier naturel non nul $h$, on note $N'(h)$ le nombre des trios entiers $(a,b,c)$ tels que l'un au moins des entiers $a$ , $b$ ou $c$ soit égal à $h$. Exprimer $N'(h)$ en fonction $N(h)$ selon la parité de $h$.
   \item  Montrer qu'à tout trio entier $(a,b,c)$ on peut associer un triplet $(r , s , t )$ d'entiers tels que $r$ et $s$ soient premiers entre eux, $s$ positif ou nul, et tels que l'on ait:
$$ a = r(r + s)t,\quad b = s(r + s)t, \quad c = -rst.$$
      \'Enoncer et démontrer une réciproque. Pour quels trios $(a,b,c)$ le triplet $(r , s , t )$ n'est-il pas unique ?
   \item  Déterminer les triplets $(r , s , t )$ ainsi associés aux trios primitifs. En déduire que si $(a,b,c)$ est un trio primitif, alors $|abc|$ , $|a + b|$, $|b+c|$ et $|c+a|$ sont des carrés d'entiers.
   \item  Pour tout entier naturel non nul $h$, on note $P(h)$ le nombre de trios primitifs $(a,b,c)$ tels que $c = h$. Montrer que $P(h)$ est une puissance de $2$.
\item Pour quels entiers $h$ a-t-on $P(h) = N(h)$ ? Expliciter une suite d'entiers $(h_n)$ telle que la suite converge vers zéro.
   \item  Soit $(a , b , 1)$ un trio. Montrer qu'il existe deux suites $(x_n )$ et $(y_n)$ convergeant respectivement vers $a$ et $b$ et telles que, pour tout $n$ , $(x_n , y_n , 1 )$ soit un trio rationnel.
   \item  Soit $(a,b,c)$ un trio réduit. Montrer qu'il existe trois suites $(x_n)$ , $(y_n)$ et $(z_n)$ convergeant respectivement vers $a$ , $b$ et $c$ et telles que, pour tout $n$, $(x_n , y_n , z_n)$ soit un trio rationnel réduit.
\end{enumerate}

\section*{Troisième partie}
On note $j$ le nombre complexe  $e^{2i\pi/3}$ , c'est à dire $-\frac12+i\sqrt32$.
Pour tout trio  $T = (a , b , c)$  on note  $\hat{T}= (a , c , b)$ ,   $S(T) = a + b + c$ et $z(T) = a + bj + cj^2$.

\begin{enumerate}
   \item Calculer le module de $z(T)$ en fonction de $S(T)$. Peut-on avoir $z(T) = 0$ ? Calculer le cosinus et le sinus d'un argument $\theta$ de $z(T)$ en fonction  de $a$ , $b$ et $c$ ?
   \item Soit $z_0$ un nombre complexe non nul. Déterminer les trios $T = (a , b, c)$ tels que $z(T) = z_0$ .
   \item  \'Etant donné deux trios $T_1$ et $T_2$, montrer qu'il existe un unique trio, noté $T_1*T_2$ , vérifiant
      $S(T_1*T_2) = S(T_1*T_2)$ et $z(T_1*T_2) = z(T_1)z(T_2)$. Calculer $T_1*T_2$ en fonction $T_1$ et $T_2$. Que peut-on en déduire\footnote{dire ? Les sources divergent} d'un argument de $z(T_1*T_2)$ ? Que peut-on en déduire d'un argument de $z(T *\hat{T}_1)$ ?
   \item  Si $T_1$ et $T_2$ sont réduits, en est-il de même de $T_1*T_2$ ? Si $T_1$ et $T_2$ sont entiers, en est-il de même de
      $T_1*T_2$ ?  Si $T_1$ et $T_2$ sont primitifs, en est-il de même de $T_1*T_2$ ?
   \item  Comparer les trios $T_1*T_2$ et $T_2*T_1$ ,  $(T_1*T_2)*T_3$ et $T_1*(T_2*T_3)$ , $T_1$ et $T_1*(1,0,0)$.
   \item  \'Etant donnés les trios $T_1$ et $T_2$, résoudre l'équation $T_1*T = T_2$ , où le trio $T$ est l'inconnue.
   \item  \'Etant donné un trio $T$, on définit une suite de trios $(T_n)$ par $T_0 = (1 , 0 , 0)$ et $T_{n+1} = T*T_n$.
      Calculer $S(T_n)$. Etant donné un entier $p$, résoudre l'équation $T_p = T_0$ où le trio $T$ est l'inconnue.

\end{enumerate}
\section*{Quatrième partie}
On note $A$ l'ensemble des entiers $m$ non nuls tels qu'il existe deux entiers $u$ , $v$ tels que $m = u^2 + 3 v^2$ .
On note $A'$ l'ensemble des nombres complexes $z$ non nuls tels qu'il existe deux entiers $u$ , $v$ tels que $z=u+iv\sqrt{3}$ (on remarquera que $|z|^2 = u^2 + 3v^2$).
On note $B$ l'ensemble des entiers $n$ non  nuls tels qu'il existe deux entiers $r$ et $s$ tels que $n = r^2 + rs + s^2$. 

\begin{enumerate}
   \item Montrer que le produit de deux éléments de $A'$ appartient à $A'$ , puis que le produit de deux éléments de $A$ appartient à $A$.
   \item Montrer que , si $p$ est un nombre premier élément de $A$, alors $p = 3$ ou $3$ divise $p - 1$.
   \item  Montrer que $A = B$ (on pourra notamment remarquer que $r^2 + rs + s = (r + s)^2 - (r + s)s + s^2$ ).
   \item  Montrer que $4$ divise les éléments pairs de $A$ et que les quotients appartiennent à $A$, puis que tout élément de $A$ est produit d'un élément impair de $A$ par une puissance de $4$.
   \item 
\begin{enumerate}
      \item  Soit, s'il en existe, un entier impair $m = u^2 + 3v^2$ tel que les entiers $u$ et $v$ soient premiers entre eux et qui admet un diviseur premier $p$ n'appartenant à $A$. Montrer qu'il existe alors un plus petit élément strictement positif $n_0$ tel que $n_0p$ appartienne à A. Montrer que $n_0$ est impair.
      \item  \'Etablir l'existence de deux entiers $u'$ et $v'$ inférieurs en valeur absolue à $p/2$ tels que $p$ divise
      $(u' - u)$ et $(v' - v)$. Montrer que $p$ divise l'entier non nul $u'^2 + 3v'^2$ et que $n_0 < p$.
      \item \'Etablir l'existence de deux entiers non nuls premiers entre eux $u_0$ et $v_0$ tels que $n_0 p = u_0^2 +3v_0^2$.
      \item \'Etablir l'existence de deux entiers $u_1$ et $v_1$ inférieurs en valeur absolue à $n_0 / 2$ tels que $n_0$ divise
      $u_1 - u_0$ et $v_1 - v_0$. Montrer que $n_0$ divise l'entier non nul $u_1^2 + 3v_1^2$ que l'on notera $n_0n_1$.
      \item En déduire qu'un tel entier $n$ ne peut pas exister (on pourra considérer l'entier $n_0^2 n_1 p$).
   \item  Montrer que tout élément de $A$ s'écrit $m = C^2p_1p_2\dots p_k$ où $C$ est un entier naturel non nul et où les $p_i$ sont des nombres premiers distincts éléments de $A$.
\end{enumerate}
      \item  Soient $p$ un nombre premier tel que $3$ divise $p-1$, et $K$ l'ensemble des triplets $(x , y , z )$ où les entiers $x$ , $y$ et $z$ sont strictement compris entre $0$ et $p$, et tels que $p$ divise $(xyz - 1)$. Montrer que $K$ possède $(p-1)^2$ éléments, et que $3$ divise le nombre d'éléments de $K$ ne vérifiant pas $x = y = z$.
      \item  En déduire qu'il existe un entier $x$ strictement compris entre $1$ et $p$ tel que $p$ divise $x^2 + x + 1$, puis que $p$ appartient à $A$. Décrire les éléments de $A$.
   \item  Soit $D$ l'ensemble des entiers $d$ tels qu'il existe un trio d'entiers $(a , b , c)$ vérifiant $a + b + c = d$ et
      $abc\ne 0$. Montrer, grâce à la question 5) de la deuxième partie, que tout élément de $D$ possède un diviseur premier élément de $A$. Réciproquement, que peut-on dire d'un entier non nul admettant un diviseur premier élément de $A$ ?
   \item  En déduire les éléments de $D$ compris au sens large entre $2001$ et $2010$.
\end{enumerate}


\end{document}
