
%% source : http://ww3.ac-poitiers.fr/math/lev/congen/index.htm
%&LaTeX
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
%\usepackage[applemac]{inputenc} % Pour MAC
\usepackage[latin1]{inputenc}   % Pour Linux, Windows
\usepackage{t1enc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{geometry,macros}
\definecolor{gris}{gray}{0.9}
\def\bas{\fcolorbox{gris}{gris}{\parbox{0.986\textwidth}{
	\color{red}\footnotesize\it Mercredi 22 Mars 2000\hfill Page : \thepage/1}}}
\def\haut{\fcolorbox{gris}{gris}{\parbox{0.986\textwidth}{
	\color{red}
	\bf Concours Général de Mathématiques \hfill 2000
	}}}
\makeatletter
\def\ps@cg{%
  \let\@oddhead\haut%
  \let\@evenhead\haut%
  \let\@oddfoot\bas
  \let\@evenfoot\bas}
\makeatother
\pagestyle{cg}
\geometry{margin=2cm,head=0.5cm,headsep=10pt,foot=1cm}
\parindent0pt
\everymath{\displaystyle}

\begin{document}

\begin{center}
    \framebox{Exercice 1}
\end{center}

On dispose de $b$ boules blanches et $n$ boules noires - au moins une de
chaque -, que l'on répartit entre deux urnes de façon qu'aucune d'elles ne
soit vide~; on note $s$ le nombre de boules dans la première, et $r$ celui
de ces boules qui sont blanches.  L'évènement considéré est le tirage d'une
boule au hasard dans l'une des urnes choisie au hasard~; le but de
l'exercice est de déterminer les répartitions rendant maximale la
probabilité $p$ de tirer une boule blanche.
\begin{enumerate}
    \item  Exprimer $p$ en fonction de $b,n,r$ et $s$.
    \item  Dans cette question, l'on fixe la valeur de $s$ ;
        comment choisir $r$ pour augmenter $p$~?
    \item  Résoudre l'exercice.
    \item  Quelles généralisations proposez-vous en augmentant les nombres
        de couleurs et d'urnes~?
\end{enumerate}

\begin{center}
    \framebox{Problème}
\end{center}
Ce problème traite des triangles $ABC$ dits cartésiens, c'est à dire à
cotés entiers $BC=a$, $CA=b$ et $AB=c$ dont l'angle en A mesure
$\frac{2\pi}3$ radians.  Sauf avis contraire $ABC $ est supposé cartésien.
\begin{enumerate}
    \item   Notant $H$ son orthocentre orthogonalement projeté en $(U,V,W)$
	sur les trois cotés, déterminer les nombres rationnels parmi
	\begin{center}
	    $AU, BV, CW, HA, HB, HC, HU, HV, HW, AW, AV, BU, BW, CV $ et $CU$.
	\end{center}
    \item   Notant $I$ son son centre du cercle inscrit, $J$ l'intersection de
	la bissectrice intérieure en $A$ et des bissectrices extérieures en les
	autres sommets, et $P, Q $ les intersections de la droite $BC$ et des deux
	bissectrices en $A$, déterminer les nombres rationnels parmi 
	\begin{center}$PB, PC, QB,
	QC, AI, AJ, AP$ et $AQ$.\end{center}
    \item  On suppose désormais $b$ et $c$ premiers entre eux. Montrer que,
	quitte à échanger $b$ et $c$, $a+b-c$ est multiple de $3$ et
	$a-b+c$  ne l'est pas.
    \item  On pose $\frac {a+b-c}{3c}=\frac pq$ où $p$ et $q$ sont des entiers
	strictement positifs premiers entre eux.  Notant $d$ le PGCD de $p(3p+2q)$
	et de $q(2p+q)$, calculer $a,b$ et $c$ en fonction de $p,q$ et $d$.
    \item  Montrer que $q$ n'est pas multiple de $3$, puis que $d=1$.
    \item  En déduire une condition nécéssaire et suffisante pour qu'un
	triangle soit cartésien de cotés premiers entre eux puis, par des remarques
	géométriques, une caractérisation analogue des triangles à cotés entiers
	$BC=a,\ CA=b$ et $AB=c$ premiers entre eux dont l'angle en $A$ mesure
	$\frac \pi 3$ radians.
\end{enumerate}

\begin{center}
    \framebox{Exercice 2}
\end{center}


Soient $A, B, C$ trois points deux à deux distincts dans l'espace, $(A)$
une sphère de centre $A$ et de rayon $r$, et $E$ l'ensemble des nombres
$R>0$
tels qu'il existe une sphère $(H)$ de centre $H$ et de rayon $R$ par
rapport à laquelle les points $B$ et $C$ sont strictement extérieurs
(c'est à dire par exemple tels que $HB>R$), et les points de $(A)$
strictement
intérieurs.
\begin{enumerate}
    \item  Dans cette question, $B$ et $C$ sont alignés
	et strictement extérieurs à $(A)$.  Montrer que $E$ est non vide et majoré. 
	Calculer le plus petit de ses majorants en fonction des données.
    \item  Déterminer une condition nécéssaire et suffisante pour $E$ soit non
	vide et majoré.
    \item  Calculer, lorsqu'il existe, le plus petit des majorants de $E$.
\end{enumerate}

\end{document}
