\documentclass[12pt]{article}


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\title{Concours Général 1999}
\date{}

%%% Macros personnelles utilis\'ees dans le document.
%
\newcommand{\Abs}[1]{\left\vert #1 \right\vert}
% Valeur absolue adaptation controlee a la main
\newcommand{\abs}[1]{\vert #1 \vert}
\newcommand{\abss}[1]{\bigl\vert #1 \bigr\vert}
\newcommand{\absss}[1]{\Bigl\vert #1 \Bigr\vert}
\newcommand{\abssss}[1]{\biggl\vert #1 \biggr\vert}
\newcommand{\absssss}[1]{\Biggl\vert #1 \Biggr\vert}
%
%% Ensembles de nombres: charger le package amssymb
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\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Sn}{\ensuremath{\mathfrak{S}_{n}}}
\newcommand{\Mn}[1][K]{\ensuremath{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{#1})}}
\newcommand{\Gln}[1][K]{\ensuremath{\mathcal{G}l_{n}(\mathbb{#1})}}
\newcommand{\En}{\text{En}}
\newcommand{\Card}{\text{Card }}
\newcommand{\Id}{\text{Id}}
\newcommand{\ie}{\emph{i.e. }}

\newcommand{\miniop}[3]{%
\renewcommand{\arraystretch}{0.6}
\begin{array}{c}
{\scriptstyle #1}\\
#2\\
{\scriptstyle #3}
\end{array}
\renewcommand{\arraystretch}{1}}
%
\newcommand{\eexp}[1]{{\rm e}^{#1}} % exponentielle en notation exposant
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\def\indcz{{\mbox{\rm 1\kern-0.23em I}}} % indicatrice


\def \disp {\displaystyle}
\def \Ker {{\mbox{Ker}}}
\renewcommand{\Im}{{\mbox{Im }}}
\renewcommand{\Re}{{\mbox{Re }}}

\newcommand{\vect}[1]{\miniop{\to}{#1}{}}

%%
%%
%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

%\maketitle
\begin{center}
\textbf{Concours Général 1999}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item
Quel est le volume maximum d'un cylindre ayant le même axe de
révolution qu'un  cône donné et intérieur à ce cône ? Quel est le
volume maximum d'une sphère centrée sur cet axe et intérieure à ce
cône ? Comparer les deux maximums trouvés.
\item
Résoudre dans $\N$ l'équation en $n$, $$(n+3)^n=\sum_{k=3}^{n+2}
k^n.$$
\item Pour quels triangles aux angles tous aigus le quotient du
plus petit côté par le rayon du cercle inscrit est-il maximum ?
\item Sur une table trônent 1999 bonbons rouges et 6661 bonbons
jaunes rendus indiscernables par des emballages uniformes. Un
gourmand applique jusqu'à épuisement du stock l'algorithme
suivant:
\begin{enumerate}
  \item \label{ga} S'il reste des bonbons, il en tire un au hasard, note sa couleur, le mange
  et va en b.
  \item \label{gb} S'il reste des bonbons, il en tire un au hasard
  et note sa couleur.
\begin{itemize}
  \item si elle est la même  que celle du dernier bonbon
  avalé, il le mange et retourne en b.
  \item sinon, il le remaillotte, le pose et retourne en a.
\end{itemize}
\end{enumerate}
Montrer que tous les bonbons seront mangés et donner la
probabilité pour que le dernier bonbon mangé soit rouge.

\item
Montrer que les symétriques de chaque sommet d'un triangle par
rapport au côté opposé sont alignés si et seulement si la distance
de l'orthocentre au centre du cercle circonscrit est égale à son
diamètre.
\end{enumerate}


\end{document}
