\documentclass[12pt]{article}


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\title{Concours Général 1998}
\date{}

%%% Macros personnelles utilis\'ees dans le document.
%
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% Valeur absolue adaptation controlee a la main
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%% Ensembles de nombres: charger le package amssymb
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{\scriptstyle #1}\\
#2\\
{\scriptstyle #3}
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%
\newcommand{\eexp}[1]{{\rm e}^{#1}} % exponentielle en notation exposant
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\def\indcz{{\mbox{\rm 1\kern-0.23em I}}} % indicatrice


\def \disp {\displaystyle}
\def \Ker {{\mbox{Ker}}}
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%%
%%
%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

%\maketitle
\begin{center}
\textbf{Concours Général 1998}
\end{center}
\begin{enumerate}

\item
Un tétraèdre $ABCD$ vérifie les conditions suivantes
\begin{enumerate}
  \item les arêtes $AB,AC,AD$ sont deux à deux orthogonales
  \item on a: $AB=3$ et $CD=\sqrt{2}$.
\end{enumerate}
Déterminer la valeur minimale de $BC^6+BD^6-AC^6-AD^6$.

\item
Soit $(u_n)_{n\in\N}$ une suite réelle vérifiant, pour tout entier
naturel $n$, la relation: $u_{n+2}=\vert u_{n+1}\vert-u_n$.

Montrer qu'il existe un entier $p$ non nul tel que la relation:
$u_{n+p}=u_n$ ait lieu pour tout entier naturel $n$.

\item
Pour tout réel $x$, on note $E(x)$ le plus grand entier relatif
inférieur ou égal à $x$. Soit $k$ un entier fixé, supérieur ou
égal à 2. On considère la fonction de $\N$ dans $\N$ définie par:
$f(n)=n+E((n+n^{1/k})^{1/k})$.

Déterminer l'ensemble des valeurs prises par la fonction $f$.

\item
On considère deux droites $D_1$ et $D_2$ sécantes en $O$, et un
point $M$ n'appartenant à aucune de ces droites. On considère deux
points variables, $A$ sur $D_1$, $B$ sur $D_2$, tels que le point
$M$ appartienne au segment $[AB]$.

\textit{Les deux questions sont indépendantes.}

\begin{enumerate}
  \item Montrer qu'il existe une position des points $A$ et $B$
  pour laquelle l'aire du triangle $OAB$ est minimale. Construire
  les points $A$ et $B$ ainsi déterminés.
  \item Montrer qu'il existe une position des points $A$ et $B$
  pour laquelle le périmètre du triangle $OAB$ est minimal et
  qu'on a alors l'égalité des périmètres des triangles $OAM$ et
  $OBM$, ainsi que la relation
  $$\frac{AM}{\tan \frac{\widehat{OAM}}2}=\frac{BM}{\tan
  \frac{\widehat{OBM}}2}.$$
  Construire les points $A$ et $B$ ainsi déterminés.
\end{enumerate}

\item
Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 3. On considère un ensemble
$A$ de $n$ points du plan, cet ensemble ne contenant pas trois
points alignés.

Montrer qu'il existe un ensemble $S$ de $2n-5$ points du plan tel
que, pour tout triangle dont les sommets sont des points de $A$,
il existe au moins un point de $S$ qui lui soit strictement
intérieur.


\end{enumerate}


\end{document}
