Concours Général 1998

1. Un tétraèdre ABCD vérifie les conditions suivantes (a) les arêtes AB, AC, AD sont deux à deux orthogonales

(b) on a : AB = 3 et CD = \sqrt{2}. Déterminer la valeur minimale de BC^{6} + BD^{6} − AC^{6} − AD^{6}.

2. Soit (u_{n})_{n∈ℕ} une suite réelle vérifiant, pour tout entier naturel n, la relation : u_{n+2} = |u_{n+1}| − u_{n}. Montrer qu’il existe un entier p non nul tel que la relation : u_{n+p} = u_{n} ait lieu pour tout entier naturel n.

3. Pour tout réel x, on note E(x) le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x. Soit k un entier fixé, supérieur ou égal à 2. On considère la fonction de ℕ dans ℕ définie par : f(n) = n + E((n + n^{1/k})^{1/k}). Déterminer l’ensemble des valeurs prises par la fonction f.

4. On considère deux droites D_{1} et D_{2} sécantes en O, et un point M n’appartenant à aucune de ces droites. On considère deux points variables, A sur D_{1}, B sur D_{2}, tels que le point M appartienne au segment [AB]. Les deux questions sont indépendantes.

(a) Montrer qu’il existe une position des points A et B pour laquelle l’aire du triangle OAB est minimale. Construire les points A et B ainsi déterminés.

(b) Montrer qu’il existe une position des points A et B pour laquelle le périmètre du triangle OAB est minimal et qu’on a alors l’égalité des périmètres des triangles OAM et OBM, ainsi que la relation

\frac{AM}{tan \frac{{ \atop OAM}}{2}} = \frac{BM}{tan \frac{{ \atop OBM}}{2}} .

Construire les points A et B ainsi déterminés.

5. Soit n un entier supérieur ou égal à 3. On considère un ensemble A de n points du plan, cet ensemble ne contenant pas trois points alignés. Montrer qu’il existe un ensemble S de 2n − 5 points du plan tel que, pour tout triangle dont les sommets sont des points de A, il existe au moins un point de S qui lui soit strictement intérieur.