\documentclass[12pt]{article}


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\title{Concours Général 1997}
\date{}

%%% Macros personnelles utilis\'ees dans le document.
%
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% Valeur absolue adaptation controlee a la main
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%% Ensembles de nombres: charger le package amssymb
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#2\\
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%
\newcommand{\eexp}[1]{{\rm e}^{#1}} % exponentielle en notation exposant
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\def\indcz{{\mbox{\rm 1\kern-0.23em I}}} % indicatrice


\def \disp {\displaystyle}
\def \Ker {{\mbox{Ker}}}
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%%
%%
%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

%\maketitle
\begin{center}
\textbf{Concours Général 1997}
\end{center}


\begin{enumerate}

\item
On a placé un jeton sur chaque sommet d'un polygone régulier à
$1997$ côtés. Sur chacun de ces jetons est écrit un entier
relatif, la somme de ces entiers relatifs étant égale à 1. On
choisit un sommet de départ et on parcourt le polygone dans le
sens trigonométrique en ramassant les jetons au fur et à mesure
tant que la somme des entiers inscrits sur les jetons ramassés est
strictement positive.

Peut-on choisir le sommet de départ de façon à ramasser tous les
jetons ? Si oui, combien y a-t-il de choix possibles ?

\item
Une capsule spatiale a la forme du solide de révolution délimité
par une sphère de centre $O$, de rayon $R$, et un cône de sommet
$O$ qui rencontre cette sphère selon un cercle de rayon $r$.

Quel est le volume maximal d'un cylindre droit contenu dans cette
capsule, le cylindre et la capsule ayant le même axe de révolution
?

\item
$C$ est un cube d'arête 1 et $p$ la projection orthogonale sur un
plan.

Quelle est la valeur maximale de l'aire de $p(C)$ ?

\item
\'Etant donné un triangle $ABC$, on note $a,b,c$ les longueurs de
ses côtés et $m,n,p$ les longueurs de ses médianes. Pour tout réel
$\alpha$ strictement positif, on définit le réel $\lambda(\alpha)$
par la relation:
$$a^{\alpha}+b^{\alpha}+c^{\alpha}=(\lambda(\alpha))^{\alpha}(m^{\alpha}+n^{\alpha}+p^{\alpha}).$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $\lambda(2)$.
\item Calculer la limite de $\lambda(\alpha)$ lorsque $\alpha$
tend vers $0$.
\item \`A quelle condition portant sur $a,b,c$ le réel
$\lambda(\alpha)$ est-il indépendant de $\alpha$ ?
\end{enumerate}

\item
Dans le plan, soient $A$ et $B$ deux points distincts. Pour tout
point $C$ extérieur à la droite $(AB)$, on note $G$
l'isobarycentre du triangle $ABC$ et $I$ le centre du cercle
inscrit.
\begin{enumerate}
  \item Soit $\alpha$ un réel tel que $0<\alpha<\pi$. Quel est
  l'ensemble $\Gamma$ des points $C$ tels que
  $(\vect{CA},\vect{CB})=\alpha+2k\pi$, $k$ étant un entier ? Lorsque $C$
  décrit $\Gamma$, montrer que $G$ et $I$ décrivent deux arcs de
  cercle que l'on précisera.
  \item On suppose désormais $\frac{\pi}3<\alpha<{\pi}$.
  Comment doit-on choisir $C$ dans $\Gamma$ pour que la distance
  $GI$ soit minimale ?
  \item On note $f(\alpha)$ la distance minimale $GI$ de la
  question précédente. Expliciter  $f(\alpha)$ en fonction de
  $a=AB$ et $\alpha$. Déterminer la valeur maximum de $f(\alpha)$
  lorsque $\alpha$ décrit $]\frac{\pi}3,{\pi}[$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}
