\documentclass[12pt,A4paper]{article}


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\title{Concours Général}
\date{}

%%% Macros personnelles utilis\'ees dans le document.
%
\newcommand{\Abs}[1]{\left\vert #1 \right\vert}
% Valeur absolue adaptation controlee a la main
\newcommand{\abs}[1]{\vert #1 \vert}
\newcommand{\abss}[1]{\bigl\vert #1 \bigr\vert}
\newcommand{\absss}[1]{\Bigl\vert #1 \Bigr\vert}
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%
%% Ensembles de nombres: charger le package amssymb
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\newcommand{\miniop}[3]{%
\renewcommand{\arraystretch}{0.6}
\begin{array}{c}
{\scriptstyle #1}\\
#2\\
{\scriptstyle #3}
\end{array}
\renewcommand{\arraystretch}{1}}
%
\newcommand{\eexp}[1]{{\rm e}^{#1}} % exponentielle en notation exposant
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\def\indcz{{\mbox{\rm 1\kern-0.23em I}}} % indicatrice


\def \disp {\displaystyle}
\def \Ker {{\mbox{Ker}}}
\renewcommand{\Im}{{\mbox{Im }}}
\renewcommand{\Re}{{\mbox{Re }}}

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\newcounter{exo}

\newcommand{ \debutsujet}[1] {
\begin{center}
\textbf{Concours Général #1}
\end{center}
\begin{list}{ \addtocounter{exo}{1}
\centerline{EXERCICE \Roman{exo}}}{} \setcounter{exo}{0} }
\def \finsujet {\end{list}\newpage}


%%
%%
%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}


\debutsujet{1996}

\item
Dans le plan, on considère un triangle $ABC$ et les six points
$D,E,F,G,H,I$ tels que $ABED$, $BCGF$ et $ACHI$ soient des carrés
extérieurs à $ABC$.\\ Montrer que les points $D,E,F,G,H,I$ sont
cocycliques si et seulement si on est dans l'un des deux cas
suivants:
\begin{itemize}
  \item le triangle $ABC$ est équilatéral;
  \item le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle.
\end{itemize}

\item

Soient $a$ un entier naturel impair et $b$ un entier strictement
positif.\\ On considère la suite réelle $(u_n)_{n\in\N}$ ainsi
définie:
 $$u_0=b\text{ et pour tout entier naturel }n\left\lbrace\begin{array}{l}\text{si } u_n\text{ est un entier pair, alors }
 u_{n+1}=\frac12 u_n\\
\text{sinon }u_{n+1}=a+u_n\end{array}\right.$$

\begin{enumerate}
  \item Démontrer que l'on peut trouver un entier naturel $n$ tel
  que\\ $u_n\le a$.
  \item Démontrer que la suite est périodique à partir d'un
  certain rang.
\end{enumerate}

\item
$ $
\begin{enumerate}
  \item Soit un parallélépipède rectangle. Montrer que l'on peut
  choisir quatre de ses sommets de façon à obtenir un tétraèdre
  dont les quatre faces sont des triangles rectangles.
  \item Réciproquement, montrer que tout tétraèdre dont les quatre
  faces sont des triangles rectangles peut s'obtenir en
  choisissant quatre sommets d'un parallélépipède rectangle.
  \item Rechercher parmi ces tétraèdres ceux qui ont aussi au
  moins deux faces isocèles. Donner les longueurs des arêtes en
  fonction de la longueur $a$ de la plus petite arête.
\end{enumerate}

\item
$ $
\begin{enumerate}
  \item Soit la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$
  strictement positif, par $f(x)=x^x$. Déterminer la valeur
  minimale prise par cette fonction lorsque $x$ décrit l'ensemble
  des réels strictement positifs.
  \item Soient $x$ et $y$ deux réels strictement positifs, montrer
  que\\ $x^y+y^x>1$.
\end{enumerate}

\item
Soit $n$ un entier naturel non nul. On dit qu'un entier naturel
non nul $k$ vérifie la condition $C_n$ s'il existe $2k$ entiers
naturels $a_1,b_1,\dots,a_k,b_k$ tous distincts, tels que les
sommes $a_1+b_1,\dots,a_k+b_k$ soient deux à deux distinctes et
strictement inférieures à $n$
\begin{enumerate}
  \item Montrer que si $k$ vérifie la condition $C_n$, alors
  $k\le\frac{2n-3}5$.
  \item Montrer que 5 vérifie la condition $C_{14}$.
  \item On suppose   $\frac{2n-3}5$ entier. Montrer que
  $\frac{2n-3}5$ vérifie la condition $C_n$.
\end{enumerate}

\finsujet

\end{document}
