\documentclass[12pt]{article}


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\title{Concours Général 1995}
\date{}

%%% Macros personnelles utilis\'ees dans le document.
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% Valeur absolue adaptation controlee a la main
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%% Ensembles de nombres: charger le package amssymb
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{\scriptstyle #1}\\
#2\\
{\scriptstyle #3}
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%
\newcommand{\eexp}[1]{{\rm e}^{#1}} % exponentielle en notation exposant
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\def\indcz{{\mbox{\rm 1\kern-0.23em I}}} % indicatrice


\def \disp {\displaystyle}
\def \Ker {{\mbox{Ker}}}
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%%
%%
%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

%\maketitle
\begin{center}
\textbf{Concours Général 1995}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item

Dans un plan $P$, on se donne un triangle $ABC$. \`A toute droite
$D$, non parallèle à l'un de ses côtés, on associe le point $G_D$,
isobarycentre des trois points communs à $D$ et aux droites
$(AB)$, $(BC)$ et $(CA)$.\\ L'objet de l'exercice est de
déterminer l'ensemble $\mathcal{F}$ des points $G_D$ lorsque $D$
varie.

\begin{enumerate}

\item Démontrer que, lorsque $D$ se déplace en restant parallèle à
une droite $\delta$, le point $G_D$ décrit une droite
$\Delta_{\delta}$.
\item On suppose, dans cette question seulement, $ABC$
équilatéral. Montrer que, lorsque $\delta$ varie, les droites
$\Delta_{\delta}$ sont toutes tangentes à un même cercle et
déterminer l'ensemble  $\mathcal{F}$ dans ce cas.
\item On revient au cas général. Montrer que l'on peut trouver un
triangle équilatéral $A'B'C'$ de l'espace dont le projeté
orthogonal sur le plan $P$ est le triangle $ABC$ et en déduire
l'ensemble  $\mathcal{F}$.
\end{enumerate}

\item \'Etudier la convergence de la suite
$(u_n)_{n\in\N}$ définie par:
\begin{equation*}
u_0\ge 0\text{ et, pour tout }n\text{ dans }\N\quad
u_{n+1}=\sqrt{u_n}+\frac1{n+1}.
\end{equation*}

\item Dans le plan, on considère $\Gamma_1,\Gamma_2$ et
$\Gamma_3$, trois cercles de rayon $R$ passant par le point $O$,
et on note $\mathcal{D}$ l'ensemble des points du plan intérieurs
à au moins deux de ces cercles.\\ Comment doit-on placer
$\Gamma_1,\Gamma_2$ et $\Gamma_3$ pour que l'aire de $\mathcal{D}$
soit minimale ? Justifier votre réponse.

\item
Soient $A_1,A_2,A_3,B_1,B_2,B_3$ six points du plan tels que l'on
ait: pour tous les entiers $i$ et $j$ de $\{1,2,3\}$ $A_i
B_j=i+j$.\\ Que peut-on dire des six points ?

\end{enumerate}

\end{document}
