Concours Général 1995

1. Dans un plan P, on se donne un triangle ABC. À toute droite D, non parallèle à l’un de ses côtés, on associe le point G_{D}, isobarycentre des trois points communs à D et aux droites (AB), (BC) et (CA). L’objet de l’exercice est de déterminer l’ensemble F des points G_{D} lorsque D varie.

(a) Démontrer que, lorsque D se déplace en restant parallèle à une droite δ, le point G_{D} décrit une droite Δ_{δ}.

(b) On suppose, dans cette question seulement, ABC équilatéral. Montrer que, lorsque δ varie, les droites Δ_{δ} sont toutes tangentes à un même cercle et déterminer l’ensemble F dans ce cas.

(c) On revient au cas général. Montrer que l’on peut trouver un triangle équilatéral A′B′C′ de l’espace dont le projeté orthogonal sur le plan P est le triangle ABC et en déduire l’ensemble F.

2. Étudier la convergence de la suite (u_{n})_{n∈ℕ} définie par :

u_{0} ≥ 0 et, pour tout n dans ℕ u_{n+1} = \sqrt{u_{n}} + \frac{1}{n + 1}.

3. Dans le plan, on considère Γ_{1}, Γ_{2} et Γ_{3}, trois cercles de rayon R passant par le point O, et on note D l’ensemble des points du plan intérieurs à au moins deux de ces cercles. Comment doit-on placer Γ_{1}, Γ_{2} et Γ_{3} pour que l’aire de D soit minimale ? Justifier votre réponse.

4. Soient A_{1}, A_{2}, A_{3}, B_{1}, B_{2}, B_{3} six points du plan tels que l’on ait : pour tous les entiers i et j de {1, 2, 3} A_{i}B_{j} = i + j. Que peut-on dire des six points ?