\documentclass[12pt]{article}


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\title{Concours Général 1994}
\date{}

%%% Macros personnelles utilis\'ees dans le document.
%
\newcommand{\Abs}[1]{\left\vert #1 \right\vert}
% Valeur absolue adaptation controlee a la main
\newcommand{\abs}[1]{\vert #1 \vert}
\newcommand{\abss}[1]{\bigl\vert #1 \bigr\vert}
\newcommand{\absss}[1]{\Bigl\vert #1 \Bigr\vert}
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%
%% Ensembles de nombres: charger le package amssymb
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\newcommand{\miniop}[3]{%
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\begin{array}{c}
{\scriptstyle #1}\\
#2\\
{\scriptstyle #3}
\end{array}
\renewcommand{\arraystretch}{1}}
%
\newcommand{\eexp}[1]{{\rm e}^{#1}} % exponentielle en notation exposant
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\def\indcz{{\mbox{\rm 1\kern-0.23em I}}} % indicatrice


\def \disp {\displaystyle}
\def \Ker {{\mbox{Ker}}}
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%%
%%
%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

%\maketitle
\begin{center}
\textbf{Concours Général 1994}
\end{center}


\begin{enumerate}

\item
Pour tout entier naturel $n$, on note $I_n$ le nombre d'entiers
$p$ pour lesquels $50^n<7^p<50^{n+1}$.
\begin{enumerate}
  \item Démontrer que pour tout entier $n$, $I_n$ vaut 2 ou 3.
  \item Démontrer qu'il existe une infinité d'entiers $n$ pour
  lesquels $I_n$ vaut 3 et donner le plus petit d'entre eux.
\end{enumerate}

\item
Soit $\Sigma$ une demi-sphère et $P$ le plan contenant son cercle
de base. Un plan variable $Q$, parallèle à un plan fixe non
perpendiculaire à $P$, coupe $\Sigma$ suivant un cercle $C$. On
désigne par $C'$ le projeté orthogonal de $C$ sur $P$. Comment
doit-on placer le plan $Q$ pour que le cylindre de bases $C$ et
$C'$ ait un volume maximal ?

\item
On définit une application $f$ de $\N^{*}$ dans $\N$ par: $f(1)=0$
et, pour tout élément $n$ de $\N^{*}$: $$f(2n)=2f(n)+1,\quad
f(2n+1)=2f(n).$$ \'Etant donné un entier strictement positif $p$
quelconque, on pose: $u_0=p$ et, tant que $u_k$ appartient à
$\N^{*}$, $u_{k+1}=f(u_k)$.
\begin{enumerate}
  \item  Montrer que, pour tout choix de $p$, il existe un unique
  entier $\nu(p)$ tel que $u_{\nu(p)}=0$.
  \item
\begin{enumerate}
  \item Calculer $\nu(1994)$.\\ Quel est le plus petit entier $p$
  tel que $\nu(p)=\nu(1994)$ ?
  \item \'Etant donné un entier $N$, déterminer le plus petit
  entier $p$ tel que $\nu(p)=N$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item
Soit $(ABC)$ un triangle. Si $P$ est un point de son plan, on note
$L,M,N$ les projetés orthogonaux de $P$ respectivement sur les
droites $(BC),(CA)$ et $(AB)$. Déterminer le point $P$ pour lequel
la quantité $BL^2+CM^2+AN^2$ est minimale.

\item
Soit $f$ une application de $\N$ dans $\N$ telle que:\\ $f(1)>0$
et, quels que soient les entiers naturels $m$ et $n$, on a:
$$f(m^2+n^2)=(f(m))^2+(f(n))^2.$$
\begin{enumerate}
  \item Calculer $f(k)$ pour $0\le k\le 12$.
  \item Calculer $f(n)$, $n$ étant un entier quelconque.
\end{enumerate}


\end{enumerate}


\end{document}
