Concours Général 1994

1. Pour tout entier naturel n, on note I_{n} le nombre d’entiers p pour lesquels 50^{n} < 7^{p} < 50^{n+1}.

(a) Démontrer que pour tout entier n, I_{n} vaut 2 ou 3.

(b) Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers n pour lesquels I_{n} vaut

3 et donner le plus petit d’entre eux.

2. Soit Σ une demi-sphère et P le plan contenant son cercle de base. Un plan variable Q, parallèle à un plan fixe non perpendiculaire à P, coupe Σ suivant un cercle C. On désigne par C′ le projeté orthogonal de C sur P. Comment doit-on placer le plan Q pour que le cylindre de bases C et C′ ait un volume maximal ?

3. On définit une application f de ℕ^{∗} dans ℕ par : f(1) = 0 et, pour tout élément n de ℕ^{∗} :

f(2n) = 2f(n) + 1, f(2n + 1) = 2f(n).

Étant donné un entier strictement positif p quelconque, on pose : u_{0} = p et, tant que u_{k} appartient à ℕ^{∗}, u_{k+1} = f(u_{k}).

(a) Montrer que, pour tout choix de p, il existe un unique entier ν(p) tel que u_{ν(p)} = 0.

(b) i. Calculer ν(1994).

Quel est le plus petit entier p tel que ν(p) = ν(1994) ? ii. Étant donné un entier N, déterminer le plus petit entier p tel

que ν(p) = N.

4. Soit (ABC) un triangle. Si P est un point de son plan, on note L, M, N les projetés orthogonaux de P respectivement sur les droites (BC), (CA) et (AB). Déterminer le point P pour lequel la quantité BL^{2} + CM^{2} + AN^{2} est minimale.

5. Soit f une application de ℕ dans ℕ telle que :

f(1) > 0 et, quels que soient les entiers naturels m et n, on a :

f(m^{2} + n^{2}) = (f(m))^{2} + (f(n))^{2}.

(a) Calculer f(k) pour 0 ≤ k ≤ 12.

(b) Calculer f(n), n étant un entier quelconque.