\documentclass[12pt]{article}


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\title{Concours Général}
\date{}

%%% Macros personnelles utilis\'ees dans le document.
%
\newcommand{\Abs}[1]{\left\vert #1 \right\vert}
% Valeur absolue adaptation controlee a la main
\newcommand{\abs}[1]{\vert #1 \vert}
\newcommand{\abss}[1]{\bigl\vert #1 \bigr\vert}
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%
%% Ensembles de nombres: charger le package amssymb
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\newcommand{\miniop}[3]{%
\renewcommand{\arraystretch}{0.6}
\begin{array}{c}
{\scriptstyle #1}\\
#2\\
{\scriptstyle #3}
\end{array}
\renewcommand{\arraystretch}{1}}
%
\newcommand{\eexp}[1]{{\rm e}^{#1}} % exponentielle en notation exposant
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\def\indcz{{\mbox{\rm 1\kern-0.23em I}}} % indicatrice


\def \disp {\displaystyle}
\def \Ker {{\mbox{Ker}}}
\renewcommand{\Im}{{\mbox{Im }}}
\renewcommand{\Re}{{\mbox{Re }}}

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\newcounter{exo}

\newcommand{ \debutsujet}[1] {
\begin{center}
\textbf{Concours Général #1}
\end{center}
\begin{list}{ \addtocounter{exo}{1}
\centerline{EXERCICE \Roman{exo}}}{} \setcounter{exo}{0} }
\def \finsujet {\end{list}\newpage}


%%
%%
%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}


\debutsujet{1993}

\item
On appelle boîte de poids, tout ensemble de poids comprenant:

$$\left\lbrace\begin{array}{c} x_1 \text{ poids de }d_1\text{
grammes chacun}\\x_2 \text{ poids de }d_2\text{ grammes chacun}\\
\dots\\ x_k \text{ poids de }d_k\text{ grammes
chacun}\end{array}\right.$$

Les nombres $x_i$ et $d_i$ (pour $1\le i\le k$) étant des entiers
naturels non nuls, tels que: $$1\le d_1<d_2<\dots<d_k.$$ On pose
$n=x_1 d_1+x_2 d_2 +\dots+x_k d_k$ et on dit que la masse totale
de la boîte de poids est $n$ grammes.

Cette boîte de poids est dite "parfaite" si elle permet d'obtenir,
de manière unique, toute passe de $0,1,\dots,n$ grammes, c'est à
dire si, pour tout entier $m$ de l'ensemble $\{0,1,\dots,n\}$, il
existe des entiers $y_1,y_2,\dots,y_k$ uniques tels que pour tout
indice i, $1\le i\le k$, on ait: $0\le y_i\le x_i$ et $m=y_1
d_1+y_2 d_2+\dots+y_k d_k$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer toutes les boîtes de poids de masse totale 5
grammes. Quelles sont celles qui sont parfaites ?
\item Montrer que pour une boîte de poids parfaite de masse totale
$n$ grammes, on a, avec les notations du préambule:
$$(1+x_1)(1+x_2)\dots (1+x_k)=n+1.$$
\item Inversement, on se donne $k$ entiers $x_1,x_2,\dots,x_k$
strictement positifs ($k$ non nul), et on définit $n$ par:
$$n+1=(1+x_1)(1+x_2)\dots (1+x_k).$$ Montrer qu'il existe des
entiers $d_1,d_2,\dots,d_k$ uniques avec $1\le d_1<d_2<\dots<d_k$
tels que la boîte de poids composée de $x_1$ poids de $d_1$
grammes, $x_2$ poids de $d_2$ grammes,...,$x_k$ poids de $d_k$
grammes soit parfaite.
\item Déterminer toutes les boîtes de poids parfaites de masse
totale $1993$ grammes.

\end{enumerate}


\item
Soit $n$ un entier strictement positif donné.
\begin{enumerate}
  \item Existe-t-il $2n+1$ entiers naturels consécutifs
  $a_0,a_1,\dots,a_{2n}$ rangés dans l'ordre croissant, vérifiant:
  $$a_0+a_1+\dots+a_n=a_{n+1}+\dots+a_{2n} ?$$
  \item Existe-t-il $2n+1$ entiers naturels consécutifs
  $a_0,a_1,\dots,a_{2n}$ rangés dans l'ordre croissant, vérifiant:
  $$a_0^2+a_1^2+\dots+a_n^2=a_{n+1}^2+\dots+a_{2n}^2 ?$$
  \item Existe-t-il $2n+1$ entiers naturels consécutifs
  $a_0,a_1,\dots,a_{2n}$ rangés dans l'ordre croissant, vérifiant:
  $$a_0^3+a_1^3+\dots+a_n^3=a_{n+1}^3+\dots+a_{2n}^3 ?$$
  Pour cette question, on pourra étudier les variations de la
  fonction $f$ définie sur $\R$ par:
  $$f(x)=(x-n)^3+(x-n+1)^3+\dots+x^3-(x+1)^3-\dots-(x+n)^3$$
  On montrera que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique
  $x_n$ vérifiant:
  $$3n(n+1)<x_n<3n(n+1)+1.$$
  On pourra utiliser
  l'égalité:$1^3+2^3+\dots+n^3=[\frac{n(n+1)}2]^2$.

  \end{enumerate}

\item
Soit $f$ une application de l'ensemble $\Z$ des entiers relatifs
dans l'ensemble $\R$ des réels.\\ On suppose que $f$ est minorée
et vérifie: pour tout entier relatif $n$,
$f(n)\le\frac12[f(n+1)+f(n-1)]$.\\ Montrer que l'application $f$
est constante.

\item
Soit dans le plan un disque $\mathcal{D}$ de rayon 1.
\begin{enumerate}
  \item Montrer qu'il est impossible de recouvrir $\mathcal{D}$
  avec deux disques de même rayon $r$, lorsque $r$ est strictement
  inférieur à 1.
  \item Montrer que, pour certaines valeurs de $r$, $r<1$, il est
  possible de recouvrir le disque $\mathcal{D}$ avec trois disques
  de même rayon $r$. Quelle est la plus petite valeur de $r$
  permettant un tel recouvrement ?
\end{enumerate}


\item $ $
\begin{enumerate}
\item Soit $A$ et $B$ deux points distincts de l'espace.
\begin{enumerate}
  \item Parmi les triangles $MAB$ d'aire donnée, quels sont ceux
  de périmètre minimal ?
  \item  Parmi les triangles $MAB$ de périmètre donné, quels sont ceux
  d'aire maximale ?
\end{enumerate}

\item
Soit, dans un tétraèdre de volume $V$, $a,b,c,d$ les
  longueurs de quatre arêtes, telles que trois quelconques d'entre
  elles ne sont pas coplanaires, et $L=a+b+c+d$.\\
  Déterminer la valeur maximale du quotient $\frac{V}{L^3}$.

\end{enumerate}


\finsujet

\end{document}
