Concours Général 1993

EXERCICE I

On appelle boîte de poids, tout ensemble de poids comprenant :

x_{1} poids de d_{1} grammes chacun x_{2} poids de d_{2} grammes chacun … x_{k} poids de d_{k} grammes chacun

Les nombres x_{i} et d_{i} (pour 1 ≤ i ≤ k) étant des entiers naturels non nuls, tels que :

1 ≤ d_{1} < d_{2} < ⋯ < d_{k}.

On pose n = x_{1}d_{1} + x_{2}d_{2} + ⋯ + x_{k}d_{k} et on dit que la masse totale de la boîte de poids est n grammes. Cette boîte de poids est dite "parfaite" si elle permet d’obtenir, de manière unique, toute passe de 0, 1, …, n grammes, c’est à dire si, pour tout entier m de l’ensemble {0, 1, …, n}, il existe des entiers y_{1}, y_{2}, …, y_{k} uniques tels que pour tout indice i, 1 ≤ i ≤ k, on ait : 0 ≤ y_{i} ≤ x_{i} et m = y_{1}d_{1} + y_{2}d_{2} + ⋯ + y_{k}d_{k}.

1. Déterminer toutes les boîtes de poids de masse totale 5 grammes. Quelles sont celles qui sont parfaites ?

2. Montrer que pour une boîte de poids parfaite de masse totale n grammes, on a, avec les notations du préambule :

(1 + x_{1})(1 + x_{2}) … (1 + x_{k}) = n + 1.

3. Inversement, on se donne k entiers x_{1}, x_{2}, …, x_{k} strictement positifs (k non nul), et on définit n par :

n + 1 = (1 + x_{1})(1 + x_{2}) … (1 + x_{k}).

Montrer qu’il existe des entiers d_{1}, d_{2}, …, d_{k} uniques avec 1 ≤ d_{1} < d_{2} < ⋯ < d_{k} tels que la boîte de poids composée de x_{1} poids de d_{1} grammes, x_{2} poids de d_{2} grammes,...,x_{k} poids de d_{k} grammes soit parfaite.

4. Déterminer toutes les boîtes de poids parfaites de masse totale 1993 grammes.

EXERCICE II

Soit n un entier strictement positif donné.

1. Existe-t-il 2n + 1 entiers naturels consécutifs a_{0}, a_{1}, …, a_{2n} rangés dans l’ordre croissant, vérifiant :

a_{0} + a_{1} + ⋯ + a_{n} = a_{n+1} + ⋯ + a_{2n}?

2. Existe-t-il 2n + 1 entiers naturels consécutifs a_{0}, a_{1}, …, a_{2n} rangés dans l’ordre croissant, vérifiant :

a_{0}^{2} + a_{1}^{2} + ⋯ + a_{n}^{2} = a_{n+1}^{2} + ⋯ + a_{2n}^{2}?

3. Existe-t-il 2n + 1 entiers naturels consécutifs a_{0}, a_{1}, …, a_{2n} rangés dans l’ordre croissant, vérifiant :

a_{0}^{3} + a_{1}^{3} + ⋯ + a_{n}^{3} = a_{n+1}^{3} + ⋯ + a_{2n}^{3}?

Pour cette question, on pourra étudier les variations de la fonction f définie sur ℝ par :

f(x) = (x − n)^{3} + (x − n + 1)^{3} + ⋯ + x^{3} − (x + 1)^{3} − ⋯ − (x + n)^{3}

On montrera que l’équation f(x) = 0 admet une solution unique x_{n} vérifiant :

3n(n + 1) < x_{n} < 3n(n + 1) + 1.

On pourra utiliser l’égalité :1^{3} + 2^{3} + ⋯ + n^{3} = [\frac{n(n+1)}{2}]^{2}.

EXERCICE III

Soit f une application de l’ensemble ℤ des entiers relatifs dans l’ensemble ℝ des réels. On suppose que f est minorée et vérifie : pour tout entier relatif n, f(n) ≤ \frac{1}{2}[f(n + 1) + f(n − 1)]. Montrer que l’application f est constante.

EXERCICE IV

Soit dans le plan un disque D de rayon 1.

1. Montrer qu’il est impossible de recouvrir D avec deux disques de même rayon r, lorsque r est strictement inférieur à 1.

2. Montrer que, pour certaines valeurs de r, r < 1, il est possible de recouvrir le disque D avec trois disques de même rayon r. Quelle est la plus petite valeur de r permettant un tel recouvrement ?

EXERCICE V

1. Soit A et B deux points distincts de l’espace.

(a) Parmi les triangles MAB d’aire donnée, quels sont ceux de périmètre minimal ?

(b) Parmi les triangles MAB de périmètre donné, quels sont ceux

d’aire maximale ?

2. Soit, dans un tétraèdre de volume V, a, b, c, d les longueurs de quatre arêtes, telles que trois quelconques d’entre elles ne sont pas coplanaires, et L = a + b + c + d. Déterminer la valeur maximale du quotient \frac{V}{L^{3}} .