Concours Général 1992

EXERCICE I

On dit qu’une partie non vide Δ du plan P est convexe si elle possède la propriété suivante :

— Pour tout couple (M, N) de points de Δ, le segment [MN] est contenu dans Δ.

Soit Δ une partie convexe du plan P. Si A est un point de P, à tout couple (M, N) de points de Δ on associe le point m défini par Am^{→}= \frac{1}{2} MN^{→} et on note δ_{A}(Δ) l’ensemble des points m ainsi obtenus.

1. (a) Montrer que δ_{A}(Δ) admet un centre de symétrie.

(b) À quelle condition a-t-on δ_{A}(Δ) = Δ ?

(c) Soit B et C deux points du plan P. Par quelle transformation

passe-t-on de δ_{B}(Δ) à δ_{C}(Δ) ?

2. Soit A un plan du point P. Déterminer et représenter δ_{A}(Δ)lorsque : (a) Δ est une bande du plan P délimitée par deux droites parallèles.

(b) Δ est délimitée par un triangle.

(c) Δ est un demi-disque.

3. Montrer que dans les deux cas 2.b. et 2.c., les contours de Δ et

δ_{A}(Δ) ont la même longueur.

EXERCICE II

Soit (C) un cercle du plan de rayon 1.

1. Déterminer les triangles inscrits dans le cercle (C) pour lesquels la somme AB^{2} + BC^{2} + CA^{2} est maximale.

2. Déterminer les quadrilatères ABCD inscrits dans le cercle (C) pour lesquels la somme AB^{2} + AC^{2} + AD^{2} + BC^{2} + BD^{2} + CD^{2} est maximale. Représenter un tel quadrilatère.

EXERCICE III

Soit ABCD un tétraèdre inscrit dans une sphère de centre O. On note G l’isobarycentre des quatre soomets du tétraèdre et I le centre de la sphère inscrite dans le tétraèdre. Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalents :

1. Les deux points O et G sont confondus.

2. Les quatre faces du tétraèdre sont isométriques.

3. Les deux points O et I sont confondus.

EXERCICE IV

Soit (u_{n}) la suite numérique définie par la donnée de ses deux premiers termes u_{0} et u_{1}, 0 < u_{0} < 1 et 0 < u_{1} < 1, et la relation de récurrence :

u_{n+2} = \frac{1}{2}(\sqrt{u_{n+1}} + \sqrt{u_{n}}).

1. Montrer que la suite (u_{n}) est convergente et déterminer sa limite.

2. Montrer qu’à partir d’un certain rang n_{0}, la suite (u_{n}) est monotone (on ne demande pas de déterminer n_{0} qui dépend des valeurs initiales u_{0} et u_{1}).

EXERCICE V

Quel est le chiffre des unités du plus grand nombre entier inférieur ou égal à \frac{10^{1992}}{10^{83}+7} ?