\documentclass[12pt]{article}


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\title{Concours Général}
\date{}

%%% Macros personnelles utilis\'ees dans le document.
%
\newcommand{\Abs}[1]{\left\vert #1 \right\vert}
% Valeur absolue adaptation controlee a la main
\newcommand{\abs}[1]{\vert #1 \vert}
\newcommand{\abss}[1]{\bigl\vert #1 \bigr\vert}
\newcommand{\absss}[1]{\Bigl\vert #1 \Bigr\vert}
\newcommand{\abssss}[1]{\biggl\vert #1 \biggr\vert}
\newcommand{\absssss}[1]{\Biggl\vert #1 \Biggr\vert}
%
%% Ensembles de nombres: charger le package amssymb
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\newcommand{\Sn}{\ensuremath{\mathfrak{S}_{n}}}
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\newcommand{\En}{\text{En}}
\newcommand{\Card}{\text{Card }}
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\newcommand{\ie}{\emph{i.e. }}

\newcommand{\miniop}[3]{%
\renewcommand{\arraystretch}{0.6}
\begin{array}{c}
{\scriptstyle #1}\\
#2\\
{\scriptstyle #3}
\end{array}
\renewcommand{\arraystretch}{1}}
%
\newcommand{\eexp}[1]{{\rm e}^{#1}} % exponentielle en notation exposant
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\def\indcz{{\mbox{\rm 1\kern-0.23em I}}} % indicatrice


\def \disp {\displaystyle}
\def \Ker {{\mbox{Ker}}}
\renewcommand{\Im}{{\mbox{Im }}}
\renewcommand{\Re}{{\mbox{Re }}}

\newcommand{\vect}[1]{\stackrel{\to}{#1}}

\newcounter{exo}

\newcommand{ \debutsujet}[1] {
\begin{center}
\textbf{Concours Général #1}
\end{center}
\begin{list}{ \addtocounter{exo}{1}
\centerline{EXERCICE \Roman{exo}}}{} \setcounter{exo}{0} }
\def \finsujet {\end{list}\newpage}


%%
%%
%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}


\debutsujet{1991}

\item
$ $
\begin{enumerate}
  \item Soit $(x_n)_{n\in\N}$ une suite de nombres réels telle
  que, pour tout nombre entier naturel $n$:
  $$x_0^3+x_1^3+\dots x_n^3=(x_0+x_1+\dots+x_n)^2.$$
  Montrer que, pour tout entier naturel $n$, il existe un entier
  naturel $m$ tel que:
  $$x_0+x_1+\dots+x_n=\frac{m(m+1)}2.$$

  \item Si $n$ et $p$ sont deux nombres entiers naturels non nuls,
  on pose:
  $$S_{n,p}=1^p+2^p+\dots+n^p.$$
  Déterminer les entiers naturels non nuls $p$ tels que, quel que
  soit l'entier naturel non nul $n$, $S_{n,p}$ soit le carré d'un
  nombre entier naturel.
\end{enumerate}

\item
À tout nombre entier naturel non nul $n$, on associe l'application
$f_n$ de la variable réelle $x$, définie pour $x\ge n$ par:
$$f_n(x)=\sqrt{x-n}+\sqrt{x-n+1}+\dots+\sqrt{x-1}+\sqrt{x}+\sqrt{x+1}+\dots+\sqrt{x+n}-(2n+1)\sqrt{x}.$$
\begin{enumerate}
  \item Dans cette question, l'entier $n$ est fixé.\\ Montrer que
  $f_n$ est croissante et que $\miniop{}{\lim}{x\to +\infty}
  f_n(x)=0$.
  \item Déterminer la limite de la suite de terme général
  $f_n(n)$.
\end{enumerate}

\item
Soit $S$ un point fixe d'une sphère fixe $(\Sigma)$ de centre
$\Omega$. On considère les tétraèdres $SABC$ inscrits dans la
sphère $(\Sigma)$ et dont les arêtes issues de $S$ sont deux à
deux orthogonales.
\begin{enumerate}
  \item Montrer que les plans $(ABC)$ passent par un point fixe.
  \item Pour un tel tétraèdre $SABC$, le point $S$ et le centre
  $\Omega$ de la sphère $(\Sigma)$ se projettent orthogonalement
  sur le plan $(ABC)$ respectivement en $H$ et $O$. On note $R$ le
  rayon du cercle circonscrit au triangle $ABC$.\\
  Démontrer que: $R^2=OH^2+2 SH^2$.
\end{enumerate}

\item
Soit $p$ un nombre entier naturel et $n=2^p$.\\ On considère les
parties $A$ de l'ensemble $E=\{1,2,\dots,n\}$ possédant la
propriété suivante:
\begin{center}
si $x$ appartient à $A$, alors $2x$ n'appartient pas à $A$.
\end{center}
Déterminer le nombre maximal d'éléments d'une telle partie $A$.

\item
$ $
\begin{enumerate}
  \item On considère l'application $P$ de $\C$ dans $\C$ définie
  par:
  $$P(z)=z^5+a_4 z^4+a_3 z^3+a_2 z^2+a_1 z$$
  où $a_1,a_2,a_3$ et $a_4$ sont quatre nombres complexes donnés.

On pose $w_{\ell}=e^{\frac{2i\ell \pi}5}$, où $\ell$ désigne un
nombre entier compris entre 0 et 4.\\ Montrer que
$P(w_0)+P(w_1)+P(w_2)+P(w_3)+P(w_4)=5$.
  \item Soient $A_1, A_2,A_3, A_4, A_5$ cinq points du plan. On
  construit un pentagone régulier inscrit dans le cercle de centre
  $A_1$ et de rayon donné $R$.\\ Démontrer qu'il existe un sommet
  $S$ du  pentagone tel que:
  $$SA_1.SA_2.SA_3.SA_4.SA_5\ge R^5.$$

\end{enumerate}

\finsujet

\end{document}
