Concours Général 1991

EXERCICE I

1. Soit (x_{n})_{n∈ℕ} une suite de nombres réels telle que, pour tout nombre entier naturel n :

x_{0}^{3} + x_{1}^{3} + … x_{n}^{3} = (x_{0} + x_{1} + ⋯ + x_{n})^{2}.

Montrer que, pour tout entier naturel n, il existe un entier naturel m tel que :

x_{0} + x_{1} + ⋯ + x_{n} = \frac{m(m + 1)}{2}.

2. Si n et p sont deux nombres entiers naturels non nuls, on pose :

S_{n,p} = 1^{p} + 2^{p} + ⋯ + n^{p}.

Déterminer les entiers naturels non nuls p tels que, quel que soit l’entier naturel non nul n, S_{n,p} soit le carré d’un nombre entier naturel.

EXERCICE II

À tout nombre entier naturel non nul n, on associe l’application f_{n} de la variable réelle x, définie pour x ≥ n par :

f_{n}(x) = \sqrt{x − n}+\sqrt{x − n + 1}+⋯+\sqrt{x − 1}+\sqrt{x}+\sqrt{x + 1}+⋯+\sqrt{x + n}−(2n+1)\sqrt{x}.

1. Dans cette question, l’entier n est fixé.

Montrer que f_{n} est croissante et que lim_{x→+∞} f_{n}(x) = 0.

2. Déterminer la limite de la suite de terme général f_{n}(n).

EXERCICE III

Soit S un point fixe d’une sphère fixe (Σ) de centre Ω. On considère les tétraèdres SABC inscrits dans la sphère (Σ) et dont les arêtes issues de S sont deux à deux orthogonales.

1. Montrer que les plans (ABC) passent par un point fixe.

2. Pour un tel tétraèdre SABC, le point S et le centre Ω de la sphère (Σ) se projettent orthogonalement sur le plan (ABC) respectivement en H et O. On note R le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC. Démontrer que : R^{2} = OH^{2} + 2SH^{2}.

EXERCICE IV

Soit p un nombre entier naturel et n = 2^{p}. On considère les parties A de l’ensemble E = {1, 2, …, n} possédant la propriété suivante :

si x appartient à A, alors 2x n’appartient pas à A.

Déterminer le nombre maximal d’éléments d’une telle partie A. EXERCICE V

1. On considère l’application P de ℂ dans ℂ définie par :

P (z) = z^{5} + a_{4}z^{4} + a_{3}z^{3} + a_{2}z^{2} + a_{1}z

où a_{1}, a_{2}, a_{3} et a_{4} sont quatre nombres complexes donnés. On pose w_{ℓ} = e^{\frac{2iℓπ}{5}} , où ℓ désigne un nombre entier compris entre 0 et 4. Montrer que P (w_{0}) + P (w_{1}) + P (w_{2}) + P (w_{3}) + P (w_{4}) = 5.

2. Soient A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5} cinq points du plan. On construit un pentagone régulier inscrit dans le cercle de centre A_{1} et de rayon donné R. Démontrer qu’il existe un sommet S du pentagone tel que :

SA_{1}.SA_{2}.SA_{3}.SA_{4}.SA_{5} ≥ R^{5}.