\documentclass[12pt,A4paper]{article}


\usepackage[latin1]{inputenc} % nécessaire sur PC
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[frenchb]{babel}
%\usepackage{A4wide}

\title{Concours Général}
\date{}

%%% Macros personnelles utilis\'ees dans le document.
%
\newcommand{\Abs}[1]{\left\vert #1 \right\vert}
% Valeur absolue adaptation controlee a la main
\newcommand{\abs}[1]{\vert #1 \vert}
\newcommand{\abss}[1]{\bigl\vert #1 \bigr\vert}
\newcommand{\absss}[1]{\Bigl\vert #1 \Bigr\vert}
\newcommand{\abssss}[1]{\biggl\vert #1 \biggr\vert}
\newcommand{\absssss}[1]{\Biggl\vert #1 \Biggr\vert}
%
%% Ensembles de nombres: charger le package amssymb
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Sn}{\ensuremath{\mathfrak{S}_{n}}}
\newcommand{\Mn}[1][K]{\ensuremath{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{#1})}}
\newcommand{\Gln}[1][K]{\ensuremath{\mathcal{G}l_{n}(\mathbb{#1})}}
\newcommand{\En}{\text{En}}
\newcommand{\Card}{\text{Card }}
\newcommand{\Id}{\text{Id}}
\newcommand{\ie}{\emph{i.e. }}

\newcommand{\miniop}[3]{%
\renewcommand{\arraystretch}{0.6}
\begin{array}{c}
{\scriptstyle #1}\\
#2\\
{\scriptstyle #3}
\end{array}
\renewcommand{\arraystretch}{1}}
%
\newcommand{\eexp}[1]{{\rm e}^{#1}} % exponentielle en notation exposant
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\def\indcz{{\mbox{\rm 1\kern-0.23em I}}} % indicatrice


\def \disp {\displaystyle}
\def \Ker {{\mbox{Ker}}}
\renewcommand{\Im}{{\mbox{Im }}}
\renewcommand{\Re}{{\mbox{Re }}}

\newcommand{\vect}[1]{\stackrel{\to}{#1}}
\newcommand{\arc}[1]{\stackrel{\frown}{#1}}

\newcounter{exo}

\newcommand{ \debutsujet}[1] {
\begin{center}
\textbf{Concours Général #1}
\end{center}
\begin{list}{ \addtocounter{exo}{1}
\centerline{EXERCICE \Roman{exo}}}{} \setcounter{exo}{0} }
\def \finsujet {\end{list}\newpage}


%%
%%
%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}


\debutsujet{1990}

\item
Soit la suite définie par: $$\left\lbrace\begin{array}{l} u_0=0;\\
\text{Pour tout entier naturel }n,\quad u_{2n}=u_n\text{ et }
u_{2n+1}=1-u_n.\end{array}\right.$$
\begin{enumerate}
  \item Calculer $u_{1990}$.
  \item Déterminer le nombre d'indices $n$, inférieurs ou égaux à
  $1990$, tels que $u_n=0$.
  \item Soit $p$ un nombre entier naturel et $N=(2^p-1) ^2$.\\
  Calculer $u_n$.
\end{enumerate}

\item
Un jeu est constitué de pièces en forme de tétraèdres réguliers
d'arêtes de longueur 1. Toutes ces pièces ont été peintes à l'aide
d'une palette de $n$ couleurs: chaque face d'un tétraèdre est
peinte d'une seule couleur et on précise que les quatre faces d'un
tétraèdre ne sont pas nécessairement de couleurs distinctes.
Déterminer le nombre maximum de pièces de ce jeu sachant que le
jeu ne contient pas deux pièces identiques.

\item
$ $
\begin{enumerate}
  \item Trouver trois nombres entiers naturels $a,b,c$, distincts
  ou non, tels que:
  $$\frac14=\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}.$$
  \item Déterminer tous les nombres entiers naturels $n$ tels
  qu'il existe $n$ nombre entiers naturels $x_1,x_2,\dots,x_n$
  vérifiant:
  $$1=\frac1{x_1^2}+\frac1{x_2^2}+\dots+\frac1{x_n^2}.$$
\end{enumerate}

\item
$ $
\begin{enumerate}
  \item Quelle est l'aire maximale d'un triangle dont les sommets
  sont dans un carré donné ?
  \item Quel est le volume maximal d'un tétraèdre  dont les sommets
  sont dans un cube donné ?
\end{enumerate}

\item

 Pour tout triangle $ABC$, on note:
\begin{itemize}
\item $\Gamma$ son cercle exinscrit dans l'angle du triangle de
sommet $A$;
\item $A',B',C'$ les points de contact respectifs de $\Gamma$ avec
les droites $(BC),(CA)$ et $(AB)$;
\item $S(ABC)$ l'aire de la portion du plan délimitée par les
segments $[AB'],[AC']$ et l'arc $\arc{C'A'B'}$ de $\Gamma$.
\end{itemize}
Montrer qu'il existe des triangles $ABC$, de périmètre $2p$ donné,
pour lesquels l'aire $S(ABC)$ est maximale. Pour un tel triangle,
donner une valeur approchée, à un degré près, de la mesure du
triangle $ABC$ de sommet $A$.

\finsujet

\end{document}
