Concours Général 1990

EXERCICE I

Soit la suite définie par :

\{ \begin{matrix}u_{0} = 0; \\ Pour tout entier naturel n, u_{2n} = u_{n} et u_{2n+1} = 1 − u_{n}. \end{matrix}

1. Calculer u_{1990}.

2. Déterminer le nombre d’indices n, inférieurs ou égaux à 1990, tels que u_{n} = 0.

3. Soit p un nombre entier naturel et N = (2^{p} − 1)^{2}.

Calculer u_{n}.

EXERCICE II

Un jeu est constitué de pièces en forme de tétraèdres réguliers d’arêtes de longueur 1. Toutes ces pièces ont été peintes à l’aide d’une palette de n couleurs : chaque face d’un tétraèdre est peinte d’une seule couleur et on précise que les quatre faces d’un tétraèdre ne sont pas nécessairement de couleurs distinctes. Déterminer le nombre maximum de pièces de ce jeu sachant que le jeu ne contient pas deux pièces identiques.

EXERCICE III

1. Trouver trois nombres entiers naturels a, b, c, distincts ou non, tels que :

\frac{1}{4} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} .

2. Déterminer tous les nombres entiers naturels n tels qu’il existe n nombre entiers naturels x_{1}, x_{2}, …, x_{n} vérifiant :

1 = \frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} + ⋯ + \frac{1}{x_{n}^{2}} .

EXERCICE IV

1. Quelle est l’aire maximale d’un triangle dont les sommets sont dans un carré donné ?

2. Quel est le volume maximal d’un tétraèdre dont les sommets sont dans un cube donné ?

EXERCICE V

Pour tout triangle ABC, on note :

— Γ son cercle exinscrit dans l’angle du triangle de sommet A;

— A′, B′, C′ les points de contact respectifs de Γ avec les droites (BC), (CA) et (AB) ;

— S(ABC) l’aire de la portion du plan délimitée par les segments

[AB′], [AC′] et l’arc C′A′B′^{⌢} de Γ. Montrer qu’il existe des triangles ABC, de périmètre 2p donné, pour lesquels l’aire S(ABC) est maximale. Pour un tel triangle, donner une valeur approchée, à un degré près, de la mesure du triangle ABC de sommet A.