\documentclass{article}


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\title{Concours Général 1999}
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\begin{document}

%\maketitle
\begin{center}
\textbf{Concours Général 1989}
\end{center}

\section*{EXERCICE I}
On se donne une partie $B$ du plan et l'on considère les parties $A$ du plan contenant $B$ et possédant la propriété $(P)$ :

« Toute composée d'un nombre impaire de symétries centrales de centres appartenant à $A$ est une symétrie centrale dont le centre appartient aussi à $A$.~»

Plus précisément, on se propose de déterminer la plus petite de ces parties, que l'on notera $(A)$, c'est-à-dire celle qui est contenue dans chacune des parties~$A$.  
\begin{enumerate} 
\item Déterminer la partie $(A)$ lorsque la partie $B$ donnée est formée :
\begin{enumerate}
\item De deux points distincts $I$ et $J$.
\item De trois points non alignés $I$, $J$ et $K$.  
\end{enumerate} 
\item Déterminer la partie $(A)$ lorsque la partie $B$ est un cercle de rayon non nul.  
\item Donner plusieurs exemples de parties $B$ telles que les parties $(A)$ associées soient distinctes entre elles et différentes des précédentes. 
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE II}
\begin{enumerate}
      \item Soit $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes tels que $z_1z_2 = 1$ et $| z_1 - z_2|=2$. 

On désigne par $A$, $B$, $M_1$ et $M_2$ les points d'affixes respectives $-1, 1,z_1$ et $z_2$
\item
Montrer que le quadrilatère $AM_1BM_2$ est en général un trapèze isocèle dont on calculera la longueur des côtés non parallèles.
Préciser les cas particuliers.  
 
\item Soient $O_1$ et $O_2$ deux points distincts du plan et $(C_1)$, $(C_2)$ les cercles de centre $O_1, O_2$ et de rayon $d\sqrt2$ où $2d = O_1O_2$

Deux points mobiles $P$ et $Q$ se déplacent respectivement sur les cercles $(C_1)$ et $(C_2)$ de façon que :
\begin{itemize}
\item   $PQ = 2d$
\item   les points $P$ et $Q$ sont soit sur la droite $(O_1O_2)$ soit de part et d'autre de $(O_1O_2)$.
\end{itemize}
Démontrer que le milieu $I$ du segment $[PQ]$ décrit une ligne de niveau de l'application
$f : M\mapsto   MO_1 . MO_2$ lorsque $P$ décrit le cercle $(C_1)$.                            
\end{enumerate}

\section*{EXERCICE III}

Déterminer le plus grand nombre réel $k$ tel que, pour tout tétraèdre $ABCD$ de volume $V$, le produit des aires des faces $ABC, ABD$ et $ACD$ soit supérieur ou égal à $kV^2$.



\section*{EXERCICE IV}
$n$ désigne un nombre entier supérieur ou égal à 2.

Soient $x_1, x_2,\dots, x_n$ $n$ nombres entiers naturels non nuls. Pour $k$, nombre entier compris au sens large entre $2$ et $n$, on définit le nombre entier $[x_k;x_{k - 1}; ... ;x_1]$ par récurrence sur $k$ en posant :
\begin{eqnarray*}
[x_2;x_1] & = & x_2^{x_1}\\
\text{si }k \ge 3,\quad [x_k;x_{k - 1}; ... ;x_1] &= & x_k^{[x_{k - 1};x_{k - 2};\dots;x_1]}.
\end{eqnarray*}

Par exemple, $[a;b;c] = a^{(b^c)}$.\\

\emph{Les deux questions sont indépendantes.}


\subsection*{Question 1}
Soient $a_1, a_2,\dots, a_n$ $n$ nombres entiers distincts rangés dans l'ordre croissant et supérieurs ou égaux à $3$, c'est-à-dire $3\le a_1 < a_2 < \dots < a_n$.
Pour $s$ permutation de l'ensemble $1, 2,\dots , n$, on pose : $P(s) = [a_{s(n)} ; a_{s(n - 1)}; \dots ; a_{s(2)} ; a_{s(1)}]$.

Pour quelle permutation $s$, $P(s)$ est-il minimum ?

Pour quelle permutation $s$, $P(s)$ est-il maximum ?\\

\emph{On étudiera d'abord le cas de $n = 2$ puis celui de $n = 3$.}


\subsection*{Question 2}
Déterminer les nombres entiers $a, b, c, d$ supérieurs ou égaux à $2$ tels que :
                                        $$[178;9] \le [a;b;c;d] \le [198;9].$$ 
\section*{EXERCICE V}
Soient $a_1, a_2, ..., a_n$ $n$ nombres réels strictement positifs.
On pose : $$s=\sum_{k=1}^n a_k\text{ et }s'=\sum_{k=1}^n a_k^{1-1/k}.$$
\begin{enumerate}
\item Soit $\lambda$ un nombre réel strictement supérieur à $1$. Établir l'inégalité : $$s'<\lambda s+\frac{\lambda}{\lambda-1}.$$
\item En déduire l'inégalité : $\sqrt{s'}<\sqrt{s}+1$.
\end{enumerate} 
\end{document}
