Concours Général 1989

EXERCICE I

On se donne une partie B du plan et l’on considère les parties A du plan contenant B et possédant la propriété (P) :

« Toute composée d’un nombre impaire de symétries centrales de centres appartenant à A est une symétrie centrale dont le centre appartient aussi à A. »

Plus précisément, on se propose de déterminer la plus petite de ces parties, que l’on notera (A), c’est-à-dire celle qui est contenue dans chacune des parties A.

1. Déterminer la partie (A) lorsque la partie B donnée est formée : (a) De deux points distincts I et J.

(b) De trois points non alignés I, J et K.

2. Déterminer la partie (A) lorsque la partie B est un cercle de rayon non nul.

3. Donner plusieurs exemples de parties B telles que les parties (A) associées soient distinctes entre elles et différentes des précédentes.

EXERCICE II

1. Soit z_{1} et z_{2} deux nombres complexes tels que z_{1}z_{2} = 1 et |z_{1} − z_{2}| = 2. On désigne par A, B, M_{1} et M_{2} les points d’affixes respectives −1, 1, z_{1} et z_{2}

2. Montrer que le quadrilatère AM_{1}BM_{2} est en général un trapèze isocèle dont on calculera la longueur des côtés non parallèles. Préciser les cas particuliers.

3. Soient O_{1} et O_{2} deux points distincts du plan et (C_{1}), (C_{2}) les cercles de centre O_{1}, O_{2} et de rayon d\sqrt{2} où 2d = O_{1}O_{2} Deux points mobiles P et Q se déplacent respectivement sur les cercles (C_{1}) et (C_{2}) de façon que :

— P Q = 2d

— les points P et Q sont soit sur la droite (O_{1}O_{2}) soit de part et d’autre de (O_{1}O_{2}).

Démontrer que le milieu I du segment [P Q] décrit une ligne de niveau de l’application f : M ↦ MO_{1}.MO_{2} lorsque P décrit le cercle (C_{1}).

EXERCICE III

Déterminer le plus grand nombre réel k tel que, pour tout tétraèdre ABCD de volume V, le produit des aires des faces ABC, ABD et ACD soit supérieur ou égal à kV^{2}.

EXERCICE IV

n désigne un nombre entier supérieur ou égal à 2. Soient x_{1}, x_{2}, …, x_{n} n nombres entiers naturels non nuls. Pour k, nombre en-

tier compris au sens large entre 2 et n, on définit le nombre entier [x_{k}; x_{k−1}; ...; x_{1}] par récurrence sur k en posant :

[x_{2}; x_{1}] = x_{2}^{x_{1}}
si k ≥ 3, [x_{k}; x_{k−1}; ...; x_{1}] = x_{k}^{[x_{k−1};x_{k−2};...;x_{1}]}.

Par exemple, [a; b; c] = a^{(b^{c})}.

Les deux questions sont indépendantes.

Question 1

Soient a_{1}, a_{2}, …, a_{n} n nombres entiers distincts rangés dans l’ordre croissant et supérieurs ou égaux à 3, c’est-à-dire 3 ≤ a_{1} < a_{2} < ⋯ < a_{n}. Pour s permutation de l’ensemble 1, 2, …, n, on pose : P (s) = [a_{s(n)}; a_{s(n−1)}; …; a_{s(2)}; a_{s(1)}].

Pour quelle permutation s, P (s) est-il minimum ? Pour quelle permutation s, P (s) est-il maximum ?

On étudiera d’abord le cas de n = 2 puis celui de n = 3.

Question 2

Déterminer les nombres entiers a, b, c, d supérieurs ou égaux à 2 tels que :

[178; 9] ≤ [a; b; c; d] ≤ [198; 9].

EXERCICE V

Soient a_{1}, a_{2}, ..., a_{n} n nombres réels strictement positifs. On pose :

s = ∑_{k=1}^{n} a_{k} et s′ = ∑_{k=1}^{n} a_{k}^{1−1/k}.

1. Soit λ un nombre réel strictement supérieur à 1. Établir l’inégalité :

s′ < λs + \frac{λ}{λ − 1}.

2. En déduire l’inégalité : \sqrt{s′} < \sqrt{s} + 1.