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\title{Concours Général 1999}
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\begin{document}

%\maketitle
\begin{center}
\textbf{Concours Général 1988}
\end{center}

\section*{PROBLÈME I}

$N,p,n$ sont des entiers naturels non nuls.

On considère un tableau rectangulaire $T$ ayant n lignes numérotées de $1$ à $n$ et $p$ colonnes numérotées de $1$ à $p$.

Pour $i$ variant de $1$ à $n$ et $k$ variant de $1$ à $p$, on inscrit à l'intersection de la ligne de rang $i$ et de la colonne de rang $k$ un entier $a_{ik}$ compris, au sens large, entre $1$ et $N$, c'est-à-dire vérifiant les inégalités $1 \le a_{ik} \le N$ .

Soit $E_i$ l'ensemble des entiers figurant dans la ligne de rang $i$.

\subsection*{Question 1}

Dans cette question, on impose au tableau $T$ les deux conditions suivantes :

\begin{enumerate}
\item Pour $i$ variant de $1$ à $n$, $E_i$ a exactement $p$ éléments ;
\item  Pour deux rangs distincts $i$ et $j$, les ensembles $E_i$ et $E_j$ sont différents.
\end{enumerate}
Soit $m$ la plus petite valeur de $N$ permettant de constituer, pour des valeurs données de $n$ et de $p$, un tableau $T$ satisfaisant aux deux conditions précédentes.  
 \begin{enumerate}
\item Calculer $m$ pour $n=p+1$.
\item Calculer $m$ pour $n=1030$ et $p=1988$.
\item Déterminer la limite de $\frac{m^p}n$  lorsque, $p$ étant fixé, $n$ tend vers l'infini.
\end{enumerate}
\subsection*{Question 2}

Dans cette question, on impose au tableau $T$, à la place des conditions précédentes, les deux conditions suivantes :
\begin{enumerate}
 \item $p = n$ ;
 \item Pour tout couple d'entiers naturels non nuls $(i,k)$, tel que 
$i + k\le n$, l'entier $a_{ik}$ n'appartient pas à l'ensemble $E_{i+k}$.  
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour $i$ et $j$ distincts, $E_i$ et $E_j$ sont différents.
\item Montrer que si $n\ge 2^q$, $q$ étant un entier positif non nul, alors $N\ge  q + 1$.
\item On suppose que $n = 2^r - 1$, $r$ étant un entier non nul donné.

Montrer que l'on a : $N \ge  r$. Montrer que l'on peut effectivement construire un tel tableau pour $N = r$.

\end{enumerate}
\section*{EXERCICE II}

Déterminer, pour $n$ entier positif, le signe de $n^6 + 5n^5\sin n + 1$.

Déterminer pour quels entiers positifs $n$ l'inégalité suivante est vérifiée :
$$\frac{n^2+5n\cos n+1}{n^6+5n^5\sin n+1}\ge 10^{-4}$$
                                                       


\section*{EXERCICE III}

On considère deux sphères $S_1$ et $S_2$ et une droite $(D)$ ne les rencontrant pas.

Pour $i = 1$ et $i = 2$, on désigne par $C_i$ le centre de $S_i$, par $H_i$ la projection orthogonale de $C_i$ sur $(D)$, par $r_i$ le rayon de $S_i$ et par di la distance de $C_i$ à $(D)$.

Soit $M$ un point de $(D)$ et, pour $i = 1$ et $i = 2$, $T_i$ le point de contact avec $S_i$ d'un plan tangent à $S_i$ passant par $M$ ; on pose $d_i(M) = MT_i$.

Situer $M$ sur $(D)$ de façon à ce que la quantité $d_1(M) + d_2(M)$ soit minimale.


\section*{EXERCICE IV}

Dans le plan, on considère un cercle $(C)$ et cinq points distincts $M_1, M_2, M_3, M_4$ et $M$ situés sur $(C)$.

Montrer que le produit des distances de $M$ aux droites $(M_1M_2)$ et $(M_3M_4)$ est égal au produit des distances de $M$ aux droites $(M_1M_3)$ et $(M_2M_4)$.

Que peut-on en déduire pour $(2n + 1)$ points distincts $M_1, M_2, ..., M_{2n}$, $M$ situés sur $(C)$ ? 



\end{document}
