Concours Général 1988

PROBLÈME I

N, p, n sont des entiers naturels non nuls. On considère un tableau rectangulaire T ayant n lignes numérotées de 1 à n

et p colonnes numérotées de 1 à p.

Pour i variant de 1 à n et k variant de 1 à p, on inscrit à l’intersection de la ligne de rang i et de la colonne de rang k un entier a_{ik} compris, au sens large, entre 1 et N, c’est-à-dire vérifiant les inégalités 1 ≤ a_{ik} ≤ N .

Soit E_{i} l’ensemble des entiers figurant dans la ligne de rang i.

Question 1

Dans cette question, on impose au tableau T les deux conditions suivantes :

1. Pour i variant de 1 à n, E_{i} a exactement p éléments ;

2. Pour deux rangs distincts i et j, les ensembles E_{i} et E_{j} sont différents. Soit m la plus petite valeur de N permettant de constituer, pour des valeurs données de n et de p, un tableau T satisfaisant aux deux conditions précédentes.

1. Calculer m pour n = p + 1.

2. Calculer m pour n = 1030 et p = 1988.

3. Déterminer la limite de \frac{m^{p}}{n} lorsque, p étant fixé, n tend vers l’infini.

Question 2

Dans cette question, on impose au tableau T, à la place des conditions précédentes, les deux conditions suivantes :

1. p = n;

2. Pour tout couple d’entiers naturels non nuls (i, k), tel que i + k ≤ n, l’entier a_{ik} n’appartient pas à l’ensemble E_{i+k}.

1. Montrer que, pour i et j distincts, E_{i} et E_{j} sont différents.

2. Montrer que si n ≥ 2^{q}, q étant un entier positif non nul, alors N ≥ q + 1.

3. On suppose que n = 2^{r} − 1, r étant un entier non nul donné. Montrer que l’on a : N ≥ r. Montrer que l’on peut effectivement construire un tel tableau pour N = r.

EXERCICE II

Déterminer, pour n entier positif, le signe de n^{6} + 5n^{5} sin n + 1. Déterminer pour quels entiers positifs n l’inégalité suivante est vérifiée :

\frac{n^{2} + 5n cos n + 1}{n^{6} + 5n^{5} sin n + 1} ≥ 10^{−4}

EXERCICE III

On considère deux sphères S_{1} et S_{2} et une droite (D) ne les rencontrant pas. Pour i = 1 et i = 2, on désigne par C_{i} le centre de S_{i}, par H_{i} la projection

orthogonale de C_{i} sur (D), par r_{i} le rayon de S_{i} et par di la distance de C_{i} à (D).

Soit M un point de (D) et, pour i = 1 et i = 2, T_{i} le point de contact avec S_{i} d’un plan tangent à S_{i} passant par M ; on pose d_{i}(M) = MT_{i}.

Situer M sur (D) de façon à ce que la quantité d_{1}(M)+d_{2}(M) soit minimale.

EXERCICE IV

Dans le plan, on considère un cercle (C) et cinq points distincts M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4} et M situés sur (C).

Montrer que le produit des distances de M aux droites (M_{1}M_{2}) et (M_{3}M_{4}) est égal au produit des distances de M aux droites (M_{1}M_{3}) et (M_{2}M_{4}).

Que peut-on en déduire pour (2n + 1) points distincts M_{1}, M_{2}, ..., M_{2n}, M situés sur (C) ?