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\title{Concours Général 1983}
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%%% Macros personnelles utilis\'ees dans le document.
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\begin{document}

%\maketitle
\begin{center}
\textbf{Concours Général 1983}
\end{center}


\section*{I}
    On a  $3^2 + 4^2 = 5^2$  et  $3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3$ .
    On cherche un réel a vérifiant : $$3^a + 4^a + 5^a + 6^a + \dots + 98^a + 99^a = 100^a$$
    \`A chaque entier $k$ tel que  $1\le k \le 97$ ,  on associe l'application $f_k$ de $\R_+$ dans $\R_+$ définie par :
                         $$f_k(x)=(1-\frac{k}{100})^k.$$                             \begin{enumerate}
    \item \'Etablir, pour $x$ positif,  $f_k(x) \le [f_1(x)]^k$.
    \item Prouver l'existence de  $a$   et son unicité .
    \item Trouver la partie entière de $a$ .  (On s'appuiera sur 1. pour majorer $a$  ,et sur des essais à la calcularice pour le minorer).
\end{enumerate}
\section*{II}

    Une bijection $f$ d'un ensemble fini $E$ dans lui-même sera dite carré s'il existe une application $g$ de $E$ dans $E$ telle que $g\circ g=f$.
    L'orbite d'un élément $a$ de $E$ pour $f$ est, par définition, l'ensemble $\{a,f(a),f^2(a), \dots\}$ formé par $a$ et les images successives de $a$.
\begin{enumerate}
    \item Etude d'un exemple: E est la partie de $\N$ formée des entiers $n$ tels que $1\le n \le 16$ . $f$ est définie par le tableau :

$$
\begin{tabular}{|l||llllllllllllllll|}
\hline     n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16\\
\hline f& 2&4&5&8&9& 10& 11& 13& 15 &12 &14 &16& 1& 7 &3& 6\\
\hline
\end{tabular}
  $$  
    Déterminer les orbites et, en supposant qu'il existe $g$ de carré $f$, étudier l'action de $g$ sur ces orbites.
    Montrer que $f$ est un carré.

    \item Sachant seulement que $E$ est fini et $f$ bijective, prouver de manière générale que, pour chaque élément de $E$, la suite des images par $f$ est périodique, et que les orbites constituent une partition de $E$.
    Une fois déterminés les nombres d'éléments des orbites de $f$, à quoi reconnait-on que $f$ est un carré?

    \item $m$ et $p$ désignent deux entiers naturels dans nuls\\
    On donne $E = \{1 , 2, \dots , m \}\times\{1 , 2 , ... , p\}$, et la bijection $f$ de $E$ définie par :
                      $f(i , j) = (i+1 , p + 1- j)$ si $i\ne m$   sinon $f(m , j) = (1 , p +1-j)$

    $f$ est-elle un carré? Discuter suivant $m$ et $p$
\end{enumerate}
\section*{III}     
    Expérience: Un plan euclidien est rapporté au répère orthonormé $(O,\vec{u},\vec{v})$.
    Placer les points $P$ , $P'$ , $P''$ , d'abscisse nulle, dont les cordonnées sont $-1$ ,$1-\sqrt{2}$ , $1+\sqrt{2}$.
    Tracer le cercle dont une équation dont une équation est $x^2 + y^2 - 2x = 0$.
    Vérifier qu'il existe sur ce cercle trois points $M$ , $M '$ , $M''$ tels que chacune des six distances $MP'$, $MP''$ , $M'P''$, $M'P$, $M''P$, $M''P'$ soit égale à $\sqrt{3}$. On donnera les coordonnées de ces points.

\section*{IV}
    Définition d'une chaîne.

    Dans le plan on considère un cercle $(C)$, de centre $A$, de rayon $R$, et une droite $(D)$ ne contenant pas $A$. Soit $h$ la distance de $A$ à $(D)$, et soit $c$ un réel positif. On nomme chaîne de côté $c$, reliant $(C)$ à $(D)$, toute confirguration formée de trois points distincts $M_1$ , $M_2$ , $M_3$ de $(C)$ et de trois points distincts $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ de $(D)$ dans la quelle les six distances $M_iP_j$ ($i\ne j$) ont la valeur $c$.
    On note systématiquement, dans ce qui suit, $i$ , $j$, $k$  une permutation arbitraire de $1$ , $2$ , $3$.
    L'objet de cette partie est de conduire à la condition nécessaire entre c, R et h pour l'existence d'une chaîne :
    \begin{equation}|c^2 - R^2| = 2Rh.
\end{equation}
    \begin{enumerate}
    \item Réaliser la figure d'une chaîne ,en conformité avec (1).
    A toute chaîne seront associés les trois points $M_1'$, $M_2'$, $M_3'$ définis par les égalités :
          $$\overrightarrow{P_iM'_i}=\overrightarrow{P_iM_j}+\overrightarrow{P_iM_k}$$                                      
    Construire ces points sur le dessin.

    \item En s'aidant d'un repère et n'écrivant que des relations du premier degré entre les coodonnées des points concernés, montrer que, pour tout i = 1 , 2 , 3 , $M_i$ et $M_i '$ se correspondent dans une même symétrie axiale orthogonale, d'axe (D).
    Démontrer, d'autre part, que $A$ appartient au cercle $M_1' M_2' M_3'$ .
    Qu'en résulte-t-il pour l'axe de la sylétrie ?

    \item \'Etablir : $\overrightarrow{AP_i}.\overrightarrow{AM'_i}=R^2-c^2$. Démontrer la relation (1) .
    L'aspect suffisant de cette condition pour la construction des chaînes est précisé au IV, 3.
\end{enumerate}

    Définition d'un chaîne: (2)
    Dans le plan on considère deux cercles $(C)$ et $(C ')$, de centre distincts $A$ et $A '$ , de rayon $R$ et $R '$. Soit $d$ la distance $AA'$, et $c$ un réel positif. On nomme chaîne de côté $c$, reliant $(C)$ et $(C ')$, toute configuration formée de trois points distincts $M_1$ , $M_2$ , $M_3$ de $(C)$ et de trois points distincts $M'_1$  , $M_2 '$, $M_3 '$ de  $(C ')$, dans laquelle les six distances $M_iM_j '$ ($i\ne j$) ont la valeur $c$ .
\begin{enumerate}
    \item \'Etude du cas $c = R = R '$ ,  $d\ne R$ .
    Pour cette valeur du côté, quelle est la nature des quadrilétères $AM_1M_{j'}M_k$ et $A'M_i'M_jM_{k'}$ ?  Par quelle tranformation simple passe-t-on de $M_i$ à $M_i '$ ?
    Etablir l'égalité : $\overrightarrow{AM_1}+\overrightarrow{AM_2}+\overrightarrow{AM_3}=\overrightarrow{AA'}$.
    Situer le centre de gravité et l'orthocentre de chacun des triangles $M_1M_2M_3$ et $M_1' M_2' M_3'$ .
    Pour fabriquer une chaîne on choisit $M_1$ sur $(C)$, à une distance de $A '$ inférieure à $2R$ .
    Quelles valeurs de le permettent ? Obtient-on bien une chaîne ?
     

    \item \'Etude du cas $d = R = R'$  ,  $c\ne R$.
    Cette étude se prolongera au 3 .
    Tracer les cercles $(C)$ , $(C ')$ centrés l'un sur l'autre, et réaliser une chaîne en se donnant le côté $c$, puis l'un des sommets.
    Quelles valeurs de le permettent ?
    Par quelle transformation simple passe-t-on de $M_i$ à $M_i'$ ?
    On pourra enfin comparer $M_i$ et $M_i'$, introduire les deux symétries vectorielles orthogonales $s$ et $s'$ , définies par les conditions:
                      $$s(\overrightarrow{AA'})=\overrightarrow{AM_2},  s'(\overrightarrow{A'A})=\overrightarrow{A'M_3}$$                         
    et chercher les images de  par $s'\circ s$ et $s\circ s'$ .

    \item Même hypothèse pour $c$, $d$ , $R$ , $R '$  qu'au 2.    $c$ pourra varier.
    Le plan est orienté et rapporté au repère orthonormé direct ($A;\vec{u},\vec{v})$, $AA'=R\overrightarrow{u}$.
    Sur $(C)$ chaque point $M_i$ est repéré par une mesure  $q_i$ de  $(\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{AM_i})$.
\begin{enumerate}
    \item Caractériser sur $(C)$ les triplets appartenant à une chaîne, indépendamment de la valeur du côté, par une condition liant $q_1 ,q_2 , q_3$ .
    \'Etablir une seconde condition correspondant à la valeur du côté. En déduire que l'abscisse du centre de gravité du triangle $M_1M_2M_3$ ne dépend que de $c$ et exprimer cette abscisse.
    \item \`A une chaîne reliant $(C)$ et $(C ')$, on associe les points $P_i$ définis par les égalités
   $$\overrightarrow{M'_iP_i}=\overrightarrow{M'_iM_j}+\overrightarrow{M'_iM_k}$$                                            
    Démontrer que $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ appartiennent à une droite perpendiculaire à $(AA')$ et dont on calculera l'abscisse en fonction de $c$.
    Faire le lien avec la partie III et compléter l'étude de la situation définie par la condition  (1).
\end{enumerate}
    \item Les cercles $(C)$ et $(C ')$ , lorsque $R'\ne R$, n'admettent entre eux de chaîne de côté $c$ que si $c$, $d$ , $R$ , $R '$ satisfont à la condition - dont on ne demande pas la démonstration- :
\begin{equation}
\frac{(c^2-R^2)(d^2-R^2)}{R}\pm \frac{(c^2-R'^2)(d^2-R'^2)}{R'}=0
\end{equation}
     \item     
\begin{enumerate}           
    \item Réaliser la figure d'une chaîne en conformité avec (2) .
    \item Etablir que dans une chaîne on a les égalités (modulo $2\pi$ ):
              $$(\overrightarrow{AM_i},\overrightarrow{A'M_i})-2(\overrightarrow{A'M_i},\overrightarrow{AM'_i})=0\text{ ou }\pi$$                               
    Le choix de $0$ ou  $\pi$ ne dépend pas de $i$.
    Par une construction ou un calcul, placer $M_i'$ connaissant $M_1$.
    \item La relation (1) de la partie III se déduit-elle de (2) ?         
\end{enumerate}
\end{enumerate}
     



\end{document}
