Université d'ORLÉANS – domaine SCIENCES et TECHNOLOGIE

Faculté des Sciences

LICENCE MENTION MATHEMATIQUES

SPECIALITE « MATHEMATIQUES et APLICATIONS »

DIVERSIFICATION

 INTITULE DE L’UE : UE 2 – Intégrale, Fourier et Probabilités

• Nombre d'heures : CM 37 TD 73

• Semestre : 6

• Nombre de crédits ECTS : 13

• Coefficient :

• langue dans laquelle l'enseignement est dispensé : Français

Objectif(s) de l'enseignement et compétences acquises :

Comprendre deux applications de l’intégrale de Lebesgue.

Description des contenus :

1. Compléments de théorie de la mesure.

• Opérations sur les tribus.

• Théorèmes de prolongement de Carathéodory (énoncé).

• Mesures image. Mesures à densité. 

• Tribus produits. Théorème de Fubini.

• Changement de variables. Exemples.

2. Espaces probabilités.

• Probabilité conditionnelle. Conditionnement. Indépendance.

• Loi d’une variable ou d’un vecteur aléatoire. Fonction de répartition.

• Indépendance des variables : loi O – 1 de Kolmogorov.

• Lois classiques : Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson, uniforme, gaussienne,Cauchy, exponentielle, Gamma.

• Espérances. Variance et covariance. Calculs.

3. Espaces de Banach L^p

• Inégalités de convexité. Hölder, Minkowski.

• Les espaces L^p sont complets. Comparaison des divers modes de convergence : presque partout, dans L¹ dans L².

• Densité de l’espace des fonctions continues à support compact dans L^p (R^d) (1≤p <+∞).

4. Convolution et transformation de Fourier.

• Convolution dans L¹ (R^d).

• Approximation de l’unité. Régularisation. Densité de C_c^∞(R^d) dans L¹ (R^d).

• Convolution des mesures bornées.

• Transformation de Fourier dans L¹ (R^d). Transformation de Fourier et convolution.

• Espaces de Schwartz. Transformation de Fourier et dérivation.

• Théorème d’inversion.

• Transformation de Fourier des mesures bornées.

5. Fonctions génératrices et fonctions caractéristiques.

• Fonctions génératrices et indépendance. Calculs des fonctions génératrices de lois classiques. Applications.

• Fonctions caractéristiques. Propriétés. Fonctions caractéristiques et indépendance. Calculs des fonctions caractéristiques de lois classiques.

6. Vecteurs gaussiens.

• Définition. Image affine d’un vecteur gaussien. Lois gaussiennes et indépendance. Fonction caractéristique.

• Loi du Chi-deux. Théorème de Cochran.

7. Convergence des variables aléatoires.

• Convergence presque sure. Convergence en probabilité. Convergence en moyenne.

• Loi faible et loi forte des grands nombres.

• Convergence en loi. Convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson.

• Enoncé du théorème de Lévy. Théorème de la limite centrale.

Pré-requis : Socles de 1 à 4 + analyse fonctionnelle élémentaire

Modalités de contrôle des connaissances :  

1ère session : CONTRÔLE CONTINU + EXAMEN TERMINAL
2ème session : CONTRÔLE CONTINU + EXAMEN TERMINAL

Note éliminatoire : oui Si oui: inférieure ou égale à 5

éléments complémentaires à prévoir ultérieurement

Nom du responsable de l'enseignement - Bibliographie - Ressources pédagogiques - Liens - etc….